[論文レビュー] Pencils and Infinite Dihedral covers of P^2

Enrique Artal Bartolo, Cogolludo, Jose Ignacio+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2004

Mathematics and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、射影平面の曲線 $C = 2C_1 + nC_2$ に沿った有限二面体被覆 $D_{2n}$ の存在、無限二面体被覆、および $C_1 \cup C_2$ を含む曲線の線束の存在との間に深い関係を確立する。もし奇数 $n$ に対して無限に多くの $D_{2n}$-被覆が存在するならば、それらはすべての $n$ に対して存在する。これは、斉次多項式 $G_1, G_2$ に対して $F_2 = G_1^2 - G_2^2 F_1$ が成り立つときに限り成立し、これは補集合の基本群から無限二面体群 $\mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2$ への上への準同型を示唆する。この結果は、位相幾何学、代数幾何学、ガロア被覆を結びつける。

ABSTRACT

In this work we study the connection between the existence of finite dihedral covers of the projective plane ramified along an algebraic curve C, infinite dihedral covers, and pencils of curves containing C.

研究の動機と目的

• 曲線 $C_1$ および $C_2$ が既約成分であるとき、$\mathbb{P}^2$ の $D_{2n}$-被覆が $2C_1 + nC_2$ に沿って分岐する条件を調査すること。
• このような有限二面体被覆の存在を、$C_1 \cup C_2$ を含む曲線の線束の存在と関連付けること。
• これらの被覆と、$\mathbb{P}^2$ の無限二面体被覆の存在との間の関係を確立すること、特に補集合の基本群を通じて。
• 特に $n$ が奇数整数を走る場合に、被覆の存在を保証する必要十分な代数的条件（定義多項式の観点から）を導出すること。

提案手法

• ガロア理論と体拡大の利用：$D_{2n}$-被覆は、$Y = \mathbb{P}^2$ に対してガロア群が $D_{2n}$ であるガロア拡大 $\mathbb{C}(X)/\mathbb{C}(Y)$ に一致する。
• $C_1$ に沿って分岐する二重被覆 $\delta: Z \to \mathbb{P}^2$ の分析と、この被覆における $C_2$ の逆像の研究（$C_2^+ \cup C_2^-$ に分解）。
• 位相的および代数的条件の適用：$C_2^+ - C_2^-$ がピック群内で $n$ で割り切れることが、$D_{2n}$-被覆の存在に不可欠である。
• $\mathbb{P}^2 \setminus (C_1 \cup C_2)$ の基本群と、線束の存在から導かれる $\mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2$ への上への準同型の利用。
• 定義多項式 $G_1, G_2$ を用いた線束の構成により、$F_2 = G_1^2 - G_2^2 F_1$ を満たし、必要な被覆の存在を保証する。
• ザリスキらが得た、曲線補集合の基本群およびその自由積 $\mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2$ への上への準同型に関する結果の活用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数 $n$ に対して無限に多くの $D_{2n}$-被覆が存在するような、$\mathbb{P}^2$ の $2C_1 + nC_2$ に沿った分岐の代数的条件は何か？
• RQ2 このような有限二面体被覆の存在は、$C_1$ と $C_2$ を含む曲線の線束の存在とどのように関係するか？
• RQ3 $C_1$ および $C_2$ の定義多項式 $F_1, F_2$ に必要な正確な代数的条件は何か？ これはすべての $n$ に対して $D_{2n}$-被覆の存在を保証する。
• RQ4 $\mathbb{P}^2 \setminus (C_1 \cup C_2)$ の基本群は、無限二面体群 $\mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2$ とどのように関係するか？
• RQ5 $C_2^+ - C_2^-$ の自己自己交叉数は、$D_{2n}$-被覆の存在を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 奇数 $n$ に対して無限に多くの $D_{2n}$-被覆が存在するならば、すべての $n \in \mathbb{N}$ に対してその被覆が存在する。これは強い有限性条件を示す。
• $C_1$ および $C_2$ の定義多項式 $F_1, F_2$ は、ある斉次多項式 $G_1, G_2$ に対して $F_2 = G_1^2 - G_2^2 F_1$ を満たす必要があり、これは被覆の存在に必要なだけでなく十分な条件である。
• このような被覆の存在は、$\pi_1(\mathbb{P}^2 \setminus (C_1 \cup C_2))$ から無限二面体群 $\mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2$ への上への準同型を示唆する（補題2）。
• $C_2^+ - C_2^-$ が自身と偶数の自己交叉数を持つ（すなわち $\nu \neq 0$）ならば、$n^2 \nmid \nu$ のとき、1つの被覆の存在が、すべての被覆の族の存在を保証する。
• $C_1 \cup C_2$ の補集合の基本群は、$\mathbb{F}_{1;(2,2,n_3,\dots,n_r)}$ に、したがって $\mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2$ に、線束構造のおかげで上への準同型をもつ。
• 特別な場合、たとえば三尖点四次曲線や複数点を持つ有理的配置では、基本群は $\mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2$ や $\mathbb{Z}_n * \mathbb{Z}_n$ に上への準同型をもつことが確認され、一般結果を裏付ける。