[論文レビュー] Pencils of genus two curves on rational surfaces

Shinya Kitagawa|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有理的表面の非最大ピカール数を持つ genus 2 曲線の pencils を、ℙ² への有理写像を介して 4 つの標準的モデルに同定することにより分類する。最小次数を達成するのは、次数と特異点型で特徴づけられる 4 種類の平面曲線 pencils のみであり、各ケースにおいて自明なモーデル・ヴェイユ群を有する極値例を構成し、それぞれのケースにおけるモーデル・ヴェイユ群のフレーム格子を特定する。

ABSTRACT

We consider relatively minimal fibrations of curves of genus two on rational surfaces whose Picard numbers are not maximal. By birational morphisms, such fibred surfaces are interpreted as pencils of plane curves. We show that only four are canonical, among a variety of possible models. For each canonical pencil, we give an example with trivial Mordell-Weil group.

研究の動機と目的

• 非最大ピカール数を有する有理的表面上の genus 2 曲線の相対的最小ファイブレーションを分類すること。
• ファイブレーションの標準的モデルを ℙ² への有理写像を介して同定すること。
• 各標準的ケースにおけるモーデル・ヴェイユ格子の構造を特定すること。
• 各標準的タイプに対して、自明なモーデル・ヴェイユ群を有する極値例を構成すること。
• 楕円的ケースにおける E₈ に類似したモーデル・ヴェイユ群の候補「フレーム格子」を特定すること。

提案手法

• ファイブレーションされた曲面 X を、ファイバー F との交わりが最小となる (-1)-曲線を逐次削除することで ℙ² への有理写像を構成する。
• 表面の簡約化と可能な構成を分類するために #-最小モデルの概念を適用する。
• 相対的 canonical 写像と Horikawa の分類を用いて、不可能な数値型を除外する。
• (-1)-曲線の列を削除して有理的モデルを構成し、得られる像曲線の特異点を解析する。
• Néron-Severi 群と直交分解を用いてモーデル・ヴェイユ群を計算し、自明性を検証する。
• クリーモナ変換を用いて、同じ次数と特異点型を有する異なる有理的モデルの同値性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的表面上の genus 2 ファイブレーションのどの有理的モデルが、ℙ² への像曲線の次数を最小化する意味で標準的とみなされるか？
• RQ2 (-1)-セクションの有無がモーデル・ヴェイユ格子の構造にどのように影響するか？
• RQ3 このようなファイブレーションに対して、ℙ² への有理写像を施したときの像曲線の可能な特異点型と次数は何か？
• RQ4 各標準的ケースにおける最大のモーデル・ヴェイユ格子は何か？また、ユニモジュラー格子や奇格子とどのように関係するか？
• RQ5 各標準的タイプに対して、自明なモーデル・ヴェイユ群を有する極値ファイブレーションを明示的に構成できるか？

主な発見

• 非最大ピカール数を有するファイブレーションに対しては、4 つの標準的モデルに限られる：(A) 次数 6 で 8 個の二重特異点、(B1) 次数 7 で 1 個の三重特異点と 10 個の二重特異点、(B2) 次数 9 で 8 個の三重特異点と 2 個の二重特異点、(C) 次数 13 で 1 個の五重特異点と 9 個の四重特異点。
• 各標準的タイプにおいて、最小次数が達成され、クリーモナ同値を除いて一意的であり、特異点型が同一である。
• ケース (B2) において、モーデル・ヴェイユ格子はユニモジュラー E₈ 格子に同型である一方、(B1) では奇格子である。
• ケース (C) において、モーデル・ヴェイユ格子は最大格子の部分格子の双対に同型であり、最大ランクは 6 である。
• 4 つの標準的タイプすべてに対して、自明なモーデル・ヴェイユ群を有する極値例が存在し、その可約なファイバーの双対グラフは図 1–4 に示される拡張ディンキン図形を含む。
• (-1)-セクションの存在は、(B1) と (B2) の対比から明らかなように、モーデル・ヴェイユ格子の構造を根本的に変える。