[論文レビュー] Percolation Models of Self-Organized Critical Phenomena

Alexander V. Milovanov|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2012

Theoretical and Computational Physics参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、確率的臨界性（SOC）を理解するための統一的枠組みとして、臨界現象理論が有効であると提唱している。この理論は、スケーリング則、ランダムウォーク、分数次元動力学、および非線形方程式（FNLSEやFGLE）を統合する。本研究では、SOC状態が「さざ波」型不安定性（例：「さかな」不安定性）に不安定化し得ることを示しており、宇宙プラズマ力学、核融合エネルギー、気候系に重要な示唆をもたらす。

ABSTRACT

In this chapter of the e-book "Self-Organized Criticality Systems" we summarize some theoretical approaches to self-organized criticality (SOC) phenomena that involve percolation as an essential key ingredient. Scaling arguments, random walk models, linear-response theory, and fractional kinetic equations of the diffusion and relaxation type are presented on an equal footing with theoretical approaches of greater sophistication, such as the formalism of discrete Anderson nonlinear Schrödinger equation, Hamiltonian pseudochaos, conformal maps, and fractional derivative equations of the nonlinear Schrödinger and Ginzburg-Landau type. Several physical consequences are described which are relevant to transport processes in complex systems. It is shown that a state of self-organized criticality may be unstable against a bursting ("fishbone") mode when certain conditions are met. Finally we discuss SOC-associated phenomena, such as: self-organized turbulence in the Earth's magnetotail (in terms of the "Sakura" model), phase transitions in SOC systems, mixed SOC-coherent behavior, and periodic and auto-oscillatory patterns of behavior. Applications of the above pertain to phenomena of magnetospheric substorm, market crashes, and the global climate change and are also discussed in some detail. Finally we address the frontiers in the field in association with the emerging projects in fusion research and space exploration.

研究の動機と目的

• 駆動され、非平衡状態にある系における自己組織的臨界性（SOC）の基礎的メカニズムとして、臨界現象理論を確立すること。
• 長距離相関、臨界閾値、重尾的ダイナミクスを示す系において、SOCがどのように生成されるかを調査すること。
• 特に「さかな」モードのような不安定なエネルギー放出モードの出現を含め、SOC状態の非線形不安定性を探索すること。
• 磁気圏のサブストーム、市場崩壊、氷河期サイクルといった観測事象を、理論的SOCモデルで説明すること。
• 核融合および宇宙探査分野における最新の実験的・ミッション指向の研究（例：FASTおよびROYミッション）と理論的SOCフレームワークを統合すること。

提案手法

• 格子上におけるサイトおよびボンドの臨界現象モデルを用いて、接続性と輸送閾値をモデル化する。
• スケーリング理論と臨界指数（β, ν, μ）を用い、臨界現象付近におけるフラクタルクラスター幾何学を特徴づける。
• ランダムウォークおよび連続時間ランダムウォーク（CTRW）モデルを用いて、臨界クラスター上での異常拡散を分析する。
• 分数次動力学方程式（FDE, FNLSE, FGLE）を用い、SOC系における非マークフィアン、長距離相関を持つ輸送を記述する。
• 離散的アンドリュー非線形シュレーディンガー方程式とハミルトニアン擬似カオスを用いて、SOC状態における非線形波動ダイナミクスをモデル化する。
• コンformal写像および非線形応答理論を用い、SOC系における臨界的挙動と相転移を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界現象理論は、複雑系における自己組織的臨界性を統一的にどのように説明するか？
• RQ2 自己組織的臨界状態が、どのように「さかな」モードのような不安定なエネルギー放出モードに不安定化するのか？
• RQ3 分数階微分および非線形シュレーディンガー／ギンツブルグ＝ランダウ方程式は、SOCダイナミクスのモデル化において果たす役割は何か？
• RQ4 SOCモデルは、磁気圏サブストーム、市場崩壊、氷河期サイクルといった観測事象をどのように説明できるか？
• RQ5 ITERやDEMOのような核融合装置の運用および安定性、およびROYやFASTミッションにおけるSOCの影響は何か？

主な発見

• 臨界現象閾値 $p_c$ は、無限大クラスターが形成される臨界的転移を示し、ハウスドルフ次元 $d_f = d - \beta/\nu$ を持つスケールフリーでフラクタル的な幾何学を生じる。
• $p_c$ に近い領域では、無限大クラスターに属する確率は $P_\infty(p) \propto (p - p_c)^\beta$ に比例し、$\beta$ は次元 $d$ に依存するが、同じ次元内では普遍的である。
• 直流電導度は $\sigma_{\rm dc} \propto (p - p_c)^\mu$ に比例し、閾値近傍でべき則的発散を示す。これは臨界現象と整合的である。
• 非線形フィードバックと長距離相関が存在する場合、SOC状態は「さかな」モードのような不安定なエネルギー放出モードに不安定化する。これは核融合プラズマにおける事例として確認されている。
• 地球の磁気圏テールにおける「さくら」モデルは、臨界現象的ダイナミクスと間欠的エネルギー放出を示すSOCの具体例と解釈できる。
• 理論的フレームワーク（FNLSEやFGLE）は、SOC系における非線形的・非局所的輸送を一貫して記述でき、観測された自己振動的および周期的挙動と結びつける。