[論文レビュー] Percolation Perturbations in Potential Theory and Random Walks

Itaï Benjamini, Russell Lyons+1 more|ArXiv.org|Apr 2, 1998

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 35被引用数 48

ひとこと要約

本稿では、非アーメンなカイリー群上で、ベルヌーイ確率的連結の無限クラスタがほとんど確実に、正の速度を示し、非戻り性のランダムウォークと有界な調和関数を有することを確立する。主な貢献は、無限クラスタ内に正の等周的定数を保つ不変確率的部分群が存在することを示したことである。この性質が、クラスタ上での非戻り性、正の速度、調和関数に関するすべての主要結果の根拠となっている。

ABSTRACT

We show that on a Cayley graph of a nonamenable group, almost surely the infinite clusters of Bernoulli percolation are transient for simple random walk, that simple random walk on these clusters has positive speed, and that these clusters admit bounded harmonic functions. A principal new finding on which these results are based is that such clusters admit invariant random subgraphs with positive isoperimetric constant. We also show that percolation clusters in any amenable Cayley graph almost surely admit no nonconstant harmonic Dirichlet functions. Conversely, on a Cayley graph admitting nonconstant harmonic Dirichlet functions, almost surely the infinite clusters of $p$-Bernoulli percolation also have nonconstant harmonic Dirichlet functions when $p$ is sufficiently close to 1. Many conjectures and questions are presented.

研究の動機と目的

• カイリー群の基本的なポテンシャル論的性質およびランダムウォークの性質が、確率的連結の摂動によって保存されるかどうかを調査すること。
• 非アーメン群上での無限確率的連結クラスタが、非戻り性、正の速度、有界な調和関数の存在を継承するかどうかを特定すること。
• 特に等周的定数を含む幾何学的・解析的性質が、確率的辺削除プロセスの下でどのように安定するかを調査すること。
• 可換性が、確率的クラスタ上での非定数調和ディリクレ関数の存在を決定づける役割を果たすかを検討すること。
• ランダム摂動の下でより安定な代替としてのアンカーリング拡張定数 $\iota_E^*(G)$ を導入し、その性質を分析すること。

提案手法

• 非アーメンなカイリー群上では、無限クラスタがほとんど確実に正の等周的定数を持つ不変確率的部分群を含むこと（定理 3.9）を証明する。
• このような部分群の存在を用いて、無限クラスタ上での単純ランダムウォークの非戻り性と正の速度を導出する（定理 4.4）。
• 離散的チーリング型不等式とスペクトル半径の推定を用いて、等周的性質とランダムウォークの挙動を関連付ける。
• ランダム摂動の下で保存され得る幾何的不変量として、アンカーリング拡張定数 $\iota_E^*(G)$ を導入する。
• ガルトン＝ワトソン木や摂動を加えた正則木上の確率的連結を用いて、等周的性および速度の性質の安定性をテストする反例を構成する。
• カップリングおよび類似の議論を用いて、確率的クラスタと決定的部分群を比較し、ほとんど確実な性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーメンなカイリー群上で $p$-ベルヌーイ確率的連結の無限クラスタは、非戻り性の単純ランダムウォークを支持するか？
• RQ2 非アーメンなカイリー群上で、$p$-ベルヌーイ確率的連結の無限クラスタ上での単純ランダムウォークの速度は、ほとんど確実に正か？
• RQ3 非アーメン群上での無限確率的連結クラスタは、非定数有界調和関数を有するか？
• RQ4 $\mathbb{Z}^d$ 上の上臨界確率的連結クラスタの等周的次元は、$d$ に任意に近づけることができるか？
• RQ5 ランダム摂動、例えばランダムパス置換やベルヌーイ確率的連結の下で、アンカーリング拡張定数 $\iota_E^*(G)$ は正のままであるか？

主な発見

• 非アーメンなカイリー群上では、$p$-ベルヌーイ確率的連結のほとんどすべての無限クラスタが、正の等周的定数を持つ不変確率的部分群を含む。
• 非アーメンなカイリー群上で $p$-ベルヌーイ確率的連結の無限クラスタ上での単純ランダムウォークは、ほとんど確実に正の速度を示す。
• 非アーメンなカイリー群上での無限クラスタは、正の等周的部分群の存在により、単純ランダムウォークに対して非戻り性を示す。
• アーメンなカイリー群上での無限クラスタは、ほとんど確実に非定数調和ディリクレ関数を有しない。
• 非定数調和ディリクレ関数を有するカイリー群では、$p$ が 1 に十分近いとき、それらの関数は無限確率的連結クラスタ上でも存在する。
• アンカーリング拡張定数 $\iota_E^*(G)$ は、ランダムパス置換や確率的連結などのランダム摂動の下で、標準的等周的定数よりもより安定である。