[論文レビュー] Percolative properties of Brownian interlacements and its vacant set

Xinyi Li|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$（$d \geq 3$）におけるブラウン運動的インターレイメントが、well-connectedであることを確立している：任意の二つの$r$-ソーセージが、ほとんど確実に$\lceil(d-2)/2\rceil$個以下の中間のソーセージを介して接続可能である。さらに、空集合の非自明な透過的相転移が存在することを証明し、透過（$\alpha < \alpha_r^*$）と非透過（$\alpha > \alpha_r^*$）を分ける鋭い臨界閾値$\alpha_r^* = \alpha_1^* r^{2-d}$を同定している。

ABSTRACT

In this article we investigate the percolative properties of Brownian interlacements, a model introduced by Alain-Sol Sznitman in arXiv:1209.4531, and show that: the interlacement set is "well-connected", i.e., any two "sausages" in $d$-dimensional Brownian interlacements, $d\geq 3$, can be connected via no more than $\lceil (d-4)/2 ceil$ intermediate sausages almost surely; while the vacant set undergoes a non-trivial percolation phase transition when the level parameter varies.

研究の動機と目的

• ブラウン運動的インターレイメントの透過的接続性を$\mathbb{R}^d$（$d \geq 3$）で調査し、インターレイメント集合の構造と交差する$r$-ソーセージのグラフに注目する。
• レベルパラメータ$\alpha$の変化に伴い、ブラウン運動的インターレイメントの空集合に非自明な透過的相転移が存在することを確立する。
• 空集合における透過の臨界閾値$\alpha_r^*$を特定し、半径$r$に対するそのスケーリング挙動を分析する。
• 空集合における非有界クラスタの一意性と相転移の鋭さを検討し、離散的ランダムインターレイメントとの類似性を考察する。

提案手法

• 頂点がブラウン運動的インターレイメントの軌道を表し、$r$-近傍が重複する軌道同士を結ぶエッジを持つ、ランダム幾何グラフ$G_{\alpha,r}$を構築する。
• グラフ$G_{\alpha,r}$の直径がほとんど確実に$\lceil(d-2)/2\rceil$に等しいことを証明し、これにより任意の二つのソーセージが、$\lceil(d-2)/2\rceil - 1$個以下の途中のソーセージを介して接続可能であることを示す。
• ブラウン運動的インターレイメントのスケーリング性質を用いて、半径$r$における臨界閾値$\alpha_r^*$を半径1における$\alpha_1^*$と関連づけ、$\alpha_r^* = \alpha_1^* r^{2-d}$を導出する。
• 大規模領域における非透過の確率を制御するため、ネストされたボックス$B_k$と、事象$A_n^\alpha$および$\widehat{A}_n^\alpha$を用いたマルチスケールの再正規化スキームを適用する。
• 悪い事象$B_{k,x}^\alpha$および$\overline{B}_{k,x}^\alpha$の確率に対する指数的減衰推定を用いて、$\mathbb{P}[(\widehat{A}_n^\alpha)^c] \to 0$（$n \to \infty$）を示し、$\alpha < \widehat{\alpha}$のとき透過が成立することを示す。
• ブラウン運動のスケーリング不変性とインターレイメント過程のポアソン的性質を活用し、臨界閾値とその$r$依存性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動的インターレイメント集合内の任意の二つの$r$-ソーセージ間の最大グラフ距離は何か？ また、この距離は次元に応じて増大するか？
• RQ2 レベルパラメータ$\alpha$の増加に伴い、ブラウン運動的インターレイメントの空集合に非自明な透過的相転移が生じるか？
• RQ3 空集合の透過の臨界閾値$\alpha_r^*$は鋭いか？ また、半径$r$に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ4 上昇的領域において、空集合における非有界クラスタは一意のまま保たれるか？ また、離散的ランダムインターレイメントの手法をこの事象に適応可能か？
• RQ5 スラブ$F_R = \mathbb{R}^2 \times [0,R]^{d-2}$における空集合の透過閾値は、全空間の閾値$\alpha_r^*$とどのように関係するか？

主な発見

• 交差する$r$-ソーセージからなるグラフ$G_{\alpha,r}$の直径は、ほとんど確実に$\lceil(d-2)/2\rceil$に等しく、インターレイメント集合が有界な経路長で接続可能であることを示している。
• すべての$\alpha, r > 0$に対して、インターレイメント集合$\mathcal{I}_r^\alpha$は$\mathbb{P}$-ほとんど確実に連結である。これは、有界なグラフ直径の直接的結果である。
• 空集合$\mathcal{V}_r^\alpha$は、有限の臨界閾値$\alpha_r^* = \alpha_1^* r^{2-d}$で非自明な透過的相転移を示し、$\alpha < \alpha_r^*$のとき透過、$\alpha > \alpha_r^*$のとき非透過が成立する。
• すべての$r > 0$に対して、臨界閾値$\alpha_r^*$は有限かつ正であり、次元に依存する係数$r^{2-d}$を用いて明示的にスケーリングされる。
• $\alpha < \widehat{\alpha}$のとき、空集合は$\mathbb{R}^d$に限らず、任意のスラブ$F_R = \mathbb{R}^2 \times [0,R]^{d-2}$においても透過する。これは、低次元スライスにおける透過の頑健性を示唆している。
• 結果から、$\alpha_r^*$が鋭いかどうかの可能性が示唆されており、平面における透過の閾値$\widetilde{\alpha}_r$に対して$\widetilde{\alpha}_r \leq \alpha_r^*$が成り立ち、$\lim_{R \to \infty} \widetilde{\alpha}_{R,r} = \alpha_r^*$が成り立つ。これは、非有界クラスタの幾何的性質における可能ないくつかの相転移を示唆している。