[論文レビュー] Perelman's W--entropy and Statistical and Relativistic Thermodynamic Description of Gravitational Fields

Olivia Vacaru, Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、3+1次元時空ファイブレーションと非ホロノミック幾何学的フローを用いて、重力場におけるペレラマンのWエントロピーの相対論的一般化を導入し、ブラックホール熱力学と宇宙構造形成を記述する単調増加する重力エントロピーを構築する。このエントロピーは統計力学およびポリヤコフアプローチによる弦理論と結びつく。

ABSTRACT

Using $3+1$ spacetime fibrations on Lorentz manifolds, we define an analogous W--entropy for gravitational fields. Such F- and W-functionals were introduced in the Ricci flow theory of three dimensional Riemannian metrics by G. Perelman, arXiv: math.DG/0211159. The main goal of this paper is to solve and study one of the mentioned there problems: how associated statistical thermodynamical functions could reproduce in a relativistic manner the black hole thermodynamics and, in a more general context, provide a thermodynamic description of gravitational interactions? In our approach, the gravitational W--entropy characterizes the geometric evolution of three dimensional (3-d) hypersurface metrics nonoholonomically imbedded into certain classes of 4-d solutions of gravitational field equations. A geometric method for generating generic off-diagonal exact solutions for Einstein manifolds of pseudo-Euclidean signature determined by relativistic Ricci flow evolution of 3-d Riemannian metrics is applied. To relate such a formalism to the thermodynamic description of gravitational fields is useful to redefine the Perelman's thermodynamic functions into nonholonomic variables and generalize the T. Clifton, G. F. R. Ellis and R. Tavakol [Class. Quantum Grav. extbf{30} (2013) 125009] theory. This allows us to construct a gravitational entropy which increases monotonically as structure forms in Universe. It is also a measure of the local anisotropy of gravitational interactions which reproduces the black hole thermodynamics. Finally, we speculate on physical macrostate and microstate interpretations of the W-entropy in the general relativity and geometric flow theories and possible connections to string theory (a second unsolved problem also contained in Perelman's works) in the Polyakov's approach.

研究の動機と目的

• リーマン幾何学におけるリッチフローのペレラマンのWエントロピーを、擬リーマン多様体における相対論的重力場へ一般化すること。
• 一般相対性理論の枠組み内でブラックホール熱力学を再現する、幾何学的かつ熱力学的な重力相互作用の記述を提供すること。
• 宇宙構造形成の過程で単調に増加する重力エントロピーを構築し、重力相互作用の局所的非等方性を反映させること。
• クリフォード、エリス、タバコルの熱力学形式を非ホロノミック変数に一般化し、3次元超曲面の幾何学的フローの進化と関連付けること。
• 一般相対性理論におけるWエントロピーのマクロ状態およびマイクロ状態の解釈を検討し、特にポリヤコフアプローチを通じた弦理論との潜在的関係を明らかにすること。

提案手法

• ローレンツ多様体上の3+1次元時空ファイブレーションを用いて、リッチフロー理論におけるペレラマンのものと類似したFおよびW汎関数を定義する。
• 相対論的リッチフローを用いて、3次元リーマン計量の変換を通じて、擬ユークリッド型のエインシュタイン多様体の一般解（非対角項を含む）を生成する幾何学的手法を適用する。
• 非ホロノミック変数におけるペレラマンの熱力学的関数を再解釈し、相対論的および統計的熱力学枠組みと整合させる。
• T. クリフォード、G. F. R. エリス、R. タバコルの理論を非ホロノミック制約と幾何学的フローの進化を組み込む形に一般化する。
• 得られた形式を用いて、単調に増加する重力Wエントロピーを定義し、重力場における局所的非等方性を測る。
• 特に幾何学的フローと統計力学の文脈において、Wエントロピーと弦理論との関係を仮説的に探る。ポリヤコフアプローチを通じた関連性を考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてペレラマンのWエントロピーを擬リーマン多様体における相対論的重力場へ一般化できるか？
• RQ2 相対論的リッチフローにおける幾何学的定義されたエントロピーが、ブラックホール熱力学を再現できるか？
• RQ3 Wエントロピーは宇宙構造形成および重力的非等方性の進化とどのように関係するか？
• RQ4 非ホロノミック変数は、統計的熱力学を重力場へ拡張する際に果たす役割は何か？
• RQ5 Wエントロピー形式とポリヤコフアプローチにおける弦理論との潜在的関係は何か？

主な発見

• 本稿は、4次元時空に埋め込まれた3次元超曲面の幾何的進化過程で単調に増加する重力Wエントロピーを構築した。
• Wエントロピーは、ブラックホールの熱力学的挙動と整合する重力相互作用の局所的非等方性の尺度である。
• 形式は、エントロピー増大とホライズン熱力学といったブラックホール熱力学の主要な特徴を、相対論的幾何学的フロー枠組み内で再現した。
• 3次元リーマン計量の相対論的リッチフローを通じて、擬ユークリッド型のエインシュタイン多様体の一般解（非対角項を含む）を生成する手法が得られた。
• 非ホロノミック変数における再定義された熱力学的関数により、重力場の統計的かつ相対論的記述が一貫して可能となった。
• 本研究は、幾何学的フロー理論、一般相対性理論、およびポリヤコフアプローチを通じた弦理論との潜在的接続を示唆しており、特に重力系のマクロ状態とマイクロ状態の解釈において有効である。