[論文レビュー] Perfect and Imperfect Gauge Fixing

A. Shirzad|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2006

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、束縛ハミルトニアン系におけるゲージ固定を、段階的チェーン法を用いて分類し、ゲージ条件をどの段階の制約チェーンに導入するかに基づいて、完全なゲージ固定と不完全なゲージ固定を区別する。完全なゲージ固定は、各チェーンの最終的制約にゲージ条件を共役させることで達成され、残留対称性を排除し、追加の制約なしに一貫性を保証する。不完全なゲージ固定は中間段階に条件を導入するもので、高次の制約が固定されず、物理状態に補助的条件が必要となる。主な貢献は、古典的および量子論的理論における初期定数の数と残留対称性に及ぼすゲージ選択の影響を体系的に分析するフレームワークを提供することにある。

ABSTRACT

Gauge fixing may be done in different ways. We show that using the chain structure to describe a constrained system, enables us to use either a perfect gauge, in which all gauged degrees of freedom are determined; or an imperfect gauge, in which some first class constraints remain as subsidiary conditions to be imposed on the solutions of the equations of motion. We also show that the number of constants of motion depends on the level in a constraint chain in which the gauge fixing condition is imposed. The relativistic point particle, electromagnetism and the Polyakov string are discussed as examples and perfect or imperfect gauges are distinguished.

研究の動機と目的

• 第一級束縛系におけるゲージ固定、制約チェーン、残留対称性の関係を明確化すること。
• ゲージ条件を第一級制約チェーン内のどの段階に導入するかに基づき、完全なゲージ固定と不完全なゲージ固定の区別を特定・形式化すること。
• 運動方程式の解における初期定数の数がゲージ選択によってどのように変化するかを分析すること。
• 不完全なゲージでは古典的および量子的両方の文脈で物理状態に補助的条件が必要であるが、完全なゲージでは不要であることを示すこと。
• よく知られたゲージ（例：クーロン、ローレンツ、光円錐、共変）をこの分類に基づいて再表現し、それらの構造的差異を明らかにすること。

提案手法

• 第一級制約チェーンを構築するために段階的チェーン法を適用し、各チェーンはポアソン括弧を用いて生成される：$\phi_{n+1} = \{\phi_n, H_c\}$、$\{\phi_N, H_c\} \approx 0$ で終了する。
• 完全なゲージ固定は、各チェーンの最終的制約（$\phi_N$）に共役するゲージ固定条件（GFCs）を導入することで定義され、すべての生成子が固定される。
• ゲージ固定レベルという概念を導入し、主にゲージ条件がチェーン内のどの位置に導入されるかを示す。中間レベルと終端レベルの区別を行う。
• ゲージ変換の生成関数：$G = \sum_{s=1}^{N} (-1)^s \phi_s \frac{d^{N-s}\eta}{dt^{N-s}}$ を用い、任意関数の時間依存性がチェーン長に対応することを示す。
• GFCの整合性をディラック手続きにより分析：$\dot{\omega}_i \approx 0$、これはGFCが適切に共役でない場合、追加の制約を生成する可能性がある。
• 具体的なモデルにこの分類を適用：相対論的点粒子、電磁気学（クーロンおよびローレンツゲージ）、ボソン的スリム（共変および光円錐ゲージ）、ディラック括弧と制約解析を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一級制約チェーン内のゲージ固定の位置が、理論の整合性と物理的内容にどのように影響するか？
• RQ2 残留対称性と補助的条件の必要性という観点から、完全なゲージ固定と不完全なゲージ固定の主な差異は何か？
• RQ3 電磁気学におけるローレンツゲージがクーロンゲージと根本的に異なるのはなぜか？これはチェーン構造とどのように関係するか？
• RQ4 運動方程式の解における初期定数の数は、異なるゲージ選択によってどのように変化するか？この数は何かによって決定されるか？
• RQ5 不完全なゲージを使用した場合、物理状態をどの程度まで追加の制約で射影する必要があり、これは量子化にどのように影響するか？

主な発見

• 完全なゲージ固定は、各第一級チェーンの最終的制約に共役するゲージ条件を導入することで達成され、すべてのゲージ生成子が固定され、残留対称性は存在しない。
• 不完全なゲージ固定は、チェーンの中間段階に条件を導入するもので、高次の制約が固定されず、物理的解に補助的条件が必要となる。
• 初期定数の数は、完全なゲージで最小化され、時間に依存するすべての任意関数が完全に固定される。
• 電磁気学におけるローレンツゲージは、『完全に不完全』と分類される。これは、ラグランジュ乗数を直接固定するが、すべての第一級制約が固定されておらず、それらを補助的条件として必要とするためである。
• ボソン的スリムにおける光円錐ゲージは完全なゲージであり、すべてのゲージ自由度を固定し、残りの自由度は横方向に限られ、ディラック括弧は$\{X^i, P_j\}_{DB} = \delta^i_j \delta(\sigma - \sigma')$ となる。
• ボソン的スリムにおける共変（旧）ゲージは不完全であり、量子論的理論において物理状態にヴァイラソロ制約を補助的条件として導入する必要がある。