[論文レビュー] Perfect domination in rectangular grid graphs

Italo J. Dejter, Abel A. Delgado|ArXiv.org|Nov 27, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、長方形グリッドグラフにおける完全支配集合（PDS）を求めるためのアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、一辺に初期条件を設定することで、剪定された意思決定木を用いてPDSを体系的に構築する。主な貢献は、整数格子 $\Lambda$ に一意の全完全符号 $S_1$ が存在することを証明し、その補集合が $D_8$ 対称性を示す非周期的タイル張りを形成することを示し、ペイントス・タイルと類似していること、およびすべての有限グリッドPDSが $S_1$ の制限として得られることを示している。

ABSTRACT

A dominating set $S$ in a graph $G$ is said to be perfect if every vertex of $G$ not in $S$ is adjacent to just one vertex of $S$. Given a vertex subset $S'$ of a side $P_m$ of an $m imes n$ grid graph $G$, the perfect dominating sets $S$ in $G$ with $S'=S\cap V(P_m)$ can be determined via an exhaustive algorithm $Θ$ of running time $O(2^{m+n})$. Extending $Θ$ to infinite grid graphs of width $m-1$, periodicity makes the binary decision tree of $Θ$ prunable into a finite threaded tree, a closed walk of which yields all such sets $S$. The graphs induced by the complements of such sets $S$ can be codified by arrays of ordered pairs of positive integers via $Θ$, for the growth and determination of which a speedier %greedy algorithm exists. %and their periodic structure, further studied. A recent characterization of grid graphs having total perfect codes $S$ (with just 1-cubes as induced components), due to Klostermeyer and Goldwasser, is given in terms of $Θ$, which allows to show that these sets $S$ are restrictions of only one total perfect code $S_1$ in the integer lattice graph $Λ$ of $\R^2$. Moreover, the complement $Λ-S_1$ yields an aperiodic tiling, like the Penrose tiling. In contrast, the parallel, horizontal, total perfect codes in $Λ$ are in 1-1 correspondence with the doubly infinite $\{0,1\}$-sequences.

研究の動機と目的

• グリッドグラフにおける完全支配集合（PDS）の計算的課題を、初期頂点制約のもとで解決すること。
• 有限および無限グリッドグラフにおける全完全符号（TPC）の存在および構造を特徴づけること。
• 有限グリッドPDSと無限整数格子 $\Lambda$ における一意の普遍的全完全符号との間の関係を確立すること。
• 整数格子 $\Lambda$ における全完全符号 $S_1$ の補集合のタイル張り特性、特にその対称性と非周期性を分析すること。
• 再帰的および周期的拡張原理を用いて、グリッドグラフにおけるPDSの生成と分類を可能にするアルゴリズム的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 与えられた一辺に初期部分集合 $S'$ がある $m \times n$ グリッドグラフにおけるすべての完全支配集合 $S$ を決定するための包括的アルゴリズム $\Theta$ を開発し、実行時間は $O(2^{m+n})$ である。
• 周期性を利用することで、幅 $m-1$ の無限グリッドグラフに $\Theta$ を拡張し、無限の2進意思決定木を剪定によって有限なスレッド付き木に還元する。
• スレッド付き木構造（閉路として表現）を用いて、周期的グリッドグラフにおけるすべての有効なPDSを体系的に列挙する。
• 各PDSの補集合を正の整数の順序対の配列として符号化することで、このような集合の効率的成長と同定を可能にする。
• $\Theta$ アルゴリズムを用いて、クロステルマイヤーとゴールドワッサーズによるグリッドグラフにおける全完全符号の特徴づけを再導出し、再解釈する。
• 座標変換と対称性解析（例：$D_8$ 群）を用いて、$\Lambda$ における普遍的全完全符号 $S_1$ が一意であり、非周期的タイル張りを生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期部分集合 $S'$ が一辺に与えられた長方形グリッドグラフ $G$ において、完全支配集合 $S$ が存在する条件は何か？
• RQ2 すべての有限 $m \times n$ グリッドグラフにおける全完全符号が、無限整数格子 $\Lambda$ における一意の全完全符号の制限として得られるか？
• RQ3 $\Lambda$ における全完全符号 $S_1$ の補集合から生じる対称性およびタイル張り特性は何か？
• RQ4 アルゴリズム $\Theta$ を無限周期的グリッドに適応させることで、すべての有効なPDSを効率的に生成できるか？
• RQ5 有限グリッドにおけるPDSの構造と、$\Lambda$ における普遍的PDSの存在との関係は何か？

主な発見

• アルゴリズム $\Theta$ は、一辺に初期部分集合 $S'$ が与えられた $m \times n$ グリッドグラフにおけるすべての完全支配集合を、時間計算量 $O(2^{m+n})$ で正しく特定する。
• グリッドグラフの一辺に与えられる適切な初期部分集合 $S'$ は、各成分が少なくとも距離3以上離れている必要があり、これにより任意の頂点が二つの成分に支配されることを防ぐ。
• 整数格子 $\Lambda$ における全完全符号 $S_1$ の補集合は、並進対称性のないが $D_8$ 二面体対称性を持つ非周期的タイル張りを形成する。
• $m,n > 2$ である有限 $m \times n$ グリッドグラフにおける全すべての全完全符号は、$\Lambda$ における一意の普遍的全完全符号 $S_1$ の制限である。
• $\Lambda - S_1$ が形成するタイル張りは、特定のPDS配列エントリ（23,32）および（12,21,13,31）を持つ部屋と階段から構成され、ペイントス・タイルと構造的に類似している。
• 整数格子 $\Lambda$ における平行な全完全符号は、二重無限の $\{0,1\}$-列挙と一対一対応し、これは非可算に多くのような符号が存在することを示唆するが、有限グリッド制限と一貫性を持つのは唯一一つである。