[論文レビュー] Perfect hedging in rough Heston models

Omar El Euch, Mathieu Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、時間に依存する平均回帰水準とHawkes過程に基づく特性関数解析を用いることで、下位資産とフォワード・ボラティリティ・カーブの組み合わせからなる明示的ポートフォリオを用いて、粗いHestonモデルにおいて完全ヘッジが理論的に達成可能であることを確立している。分数マーチンゲール過程を用いた非マルコフ的ダイナミクスにもかかわらず、フォワード・ボラティリティ・カーブがモデルの状態空間を完全に捉えていることが、導出された条件付き期待値の半閉形式により証明されている。

ABSTRACT

Rough volatility models are known to reproduce the behavior of historical volatility data while at the same time fitting the volatility surface remarkably well, with very few parameters. However, managing the risks of derivatives under rough volatility can be intricate since the dynamics involve fractional Brownian motion. We show in this paper that surprisingly enough, explicit hedging strategies can be obtained in the case of rough Heston models. The replicating portfolios contain the underlying asset and the forward variance curve, and lead to perfect hedging (at least theoretically). From a probabilistic point of view, our study enables us to disentangle the infinite-dimensional Markovian structure associated to rough volatility models.

研究の動機と目的

• 粗いHestonモデルにおけるデリバティブ価格設定とヘッジの挑戦に取り組むこと。このモデルは非マルコフ的であり、分数 Browm運動を含む。
• 粗いHestonモデルにおいて、将来のペイオフ値の条件付き分布を完全に決定する最小の状態変数集合を特定すること。
• 拡張された特性関数を用いて、デリバティブペイオフの条件付き期待値の半閉形式解を構築すること。
• 下位資産とフォワード・ボラティリティ・カーブを含む明示的ポートフォリオを用いて、完全ヘッジが理論的に可能であることを示すこと。

提案手法

• 条件付きでマルコフ的構造を保つために、時間に依存する平均回帰水準を有する一般化された粗いHestonモデルを導入すること。
• ジャンプの分岐構造をモデル化するためにHawkes過程を用い、複素数パラメータに対して対数株価の拡張された特性関数を導出すること。
• リーマン＝リウヴィル作用素を用いた分数リッカティ方程式を適用し、古典的微分を分数微分に置き換えて特性関数を特徴づけること。
• ガルトン＝ウォーソンの分岐過程を用いて可積分性条件を確立し、特性関数導出における指数モーメントの収束を保証すること。
• Hawkes過程の分岐構造を活用して強度過程を分解し、特性関数の再帰的積分方程式を導出すること。
• 対数株価の条件付き分布が、現在の下位資産価格とフォワード・ボラティリティ・カーブにのみ依存することを証明し、完全リプレースメントを可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非マルコフ的かつ非セミマルティング過程を有する粗いHestonモデルにおいて、明示的ヘッジ戦略を導出することは可能か？
• RQ2 粗いHestonモデルにおいて、将来のデリバティブペイオフの条件付き分布を完全に決定する最小の状態変数集合は何か？
• RQ3 将来のボラティリティの条件付き期待値として定義されるフォワード・ボラティリティ・カーブは、価格設定とヘッジのための十分統計量として機能するか？
• RQ4 分数微積分を用いて、粗いHestonモデルにおける対数株価の特性関数に対して半閉形式解を得ることは可能か？
• RQ5 対数株価の拡張された特性関数が、どのような条件下で可積分性を保ち、条件付き期待値の導出を可能にするか？

主な発見

• 平均回帰水準を時間に依存する関数に置き換えても、粗いHestonモデルにおける対数株価の条件付き分布は、依然として粗いHeston分布のまま保たれる。
• フォワード・ボラティリティ・カーブ $ ( ext{E}[V_{s+t}|ancyscript{F}_t])_{s eq 0} $ が、任意のデリバティブペイオフの条件付き期待値を完全に決定するのに十分である。
• リーマン＝リウヴィルの分数微分および積分を含む分数リッカティ方程式を用いて、対数株価の特性関数の半閉形式解が導出された。
• 複素数 $ z = a + ib $ に対して、条件 $ a eq ext{int}_0^t ho - 1 - ext{log}( ext{int}_0^t ho) $ を満たすとき、拡張された特性関数 $ ext{E}[ ext{exp}(z ext{log}(S_t/S_0))] $ は適切に定義され、可積分性が保証される。
• 下位資産とフォワード・ボラティリティ・カーブを含むポートフォリオを用いることで、完全ヘッジが理論的に可能であり、リプレースメント誤差は存在しない。
• Hawkes過程とその分岐構造の利用により、モーメント生成関数が導出され、特性関数解析に不可欠な指数モーメントの収束が保証された。