[論文レビュー] Perfect Mannheim, Lipschitz and Hurwitz weight codes

Murat Güzeltepe|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、マニハイム、リプシッツ、ハルヴィッツ距離に基づき、ガウス整数、リプシッツ整数、ハルヴィッツ整数上での完全符号の存在および非存在を調査する。符号パラメータの上限を確立し、3つの距離に対して重み1のエラーを訂正する完全符号が存在することを証明するが、与えられた制約下では重み2以上の完全符号は存在しないことを示す。

ABSTRACT

In this paper, upper bounds on codes over Gaussian integers, Lipschitz integers and Hurwitz integers with respect to Mannheim metric, Lipschitz and Hurwitz metric are given.

研究の動機と目的

• ガウス整数、リプシッツ整数、ハルヴィッツ整数上でのマニハイム、リプシッツ、ハルヴィッツ距離に関する完全符号の存在および非存在を特定すること。
• それぞれの距離に基づく、これらの整数環上での符号サイズおよび最小距離の上限を確立すること。
• 特にQAMベースの符号変調の文脈において、重み1または2のエラーを訂正する完全符号が存在するかどうかを調査すること。
• 代数的数体の環を用いて、ハミング距離やリー距離を超えた非体アルファベットにおける完全符号理論を拡張すること。
• クaternion的および複素整数環の文脈における、完全符号の新しい構成法および非存在結果を提供すること。

提案手法

• ガウス整数、リプシッツ整数、ハルヴィッツ整数上での重み付きL1ノルムに基づき、マニハイム、リプシッツ、ハルヴィッツ距離を定義する。
• 球詰め境界を用いて完全符号の必要条件を導出し、有界重みの誤りベクトルの数とコセットの数を等しくする。
• 有限商環 $\mathcal{H}_{\pi}$ および $H(\mathbb{Z})_{\pi}$ 上で、ハルヴィッツ重み1および2のすべての誤りベクトルを列挙し、異なる非ゼロ成分とその代数的値を考慮する。
• 完全符号の可能性を判定するため、$\mathcal{H}_{\pi}$ に対して $ (2p^2 - 1)^{n-k} \geq 50n^2 + 10n + 1 $ および $\mathcal{H}_{1+e_1+e_2}$ に対して $17^{n-k} \geq 50n^2 - 34n + 1$ を適用する。
• 代数的数論を用いて、素クォータニオンまたはガウス素数による右合同関係を用いて、商環 $G_\pi$、$H(\mathbb{Z})_\pi$、および $\mathcal{H}_\pi$ を定義する。
• 重み2の完全符号方程式の唯一の整数解が $n=1, k=0$ であることを検証し、これは実現不可能であるため、非存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マニハイム重み1のエラーを訂正する完全符号は、ガウス整数上に存在するか？
• RQ2 リプシッツ重み1のエラーを訂正する完全符号は、リプシッツ整数上に存在するか？
• RQ3 ハルヴィッツ重み1のエラーを訂正する完全符号は、ハルヴィッツ整数上に存在するか？
• RQ4 マニハイム、リプシッツ、またはハルヴィッツ重み2のエラーを訂正する完全符号は、それぞれの整数環上に存在するか？
• RQ5 これらの距離における完全符号の存在に必要なコードパラメータ $n$, $k$, および $p$ の条件は何か？

主な発見

• マニハイム重み1のエラーを訂正する完全符号は、ガウス整数 $G_\pi$ 上に存在し、$(2400, 2398)$、$(5764800, 5764796)$ などのパラメータを持つ。
• リプシッツ重み1のエラーを訂正する完全符号は、リプシッツ整数 $H(\mathbb{Z})_\pi$ 上に存在し、既知の結果を非体アルファベットへと拡張する。
• ハルヴィッツ重み1のエラーを訂正する完全符号は、ハルヴィッツ整数 $\mathcal{H}_\pi$ 上に存在し、球詰め条件から導かれるパラメータを持つ。
• $\mathcal{H}_{1+e_1+e_2}$ 上では、ハルヴィッツ重み2またはそれ以下のエラーを訂正する完全符号は存在しない。方程式 $17^{n-k} = 50n^2 - 34n + 1$ の唯一の解は $n=1, k=0$ であり、これは実現不可能であるため。
• $\pi\pi^* = p \geq 17$ である $\mathcal{H}_\pi$ 上では、ハルヴィッツ重み2またはそれ以下のエラーを訂正する完全符号は存在しない。$n \leq 1000000$、$n-k \leq 23$ の範囲で $ (2p^2 - 1)^{n-k} = 50n^2 + 10n + 1 $ に対して整数解が存在しないことから。
• 本稿では、ハルヴィッツ距離におけるハルヴィッツ整数上での完全符号の、初めての既知の構成法を提供し、より高いエラー重みでは非存在を証明する。