[論文レビュー] Perfect plasticity with damage and healing at small strains, its modelling, analysis, and computer implementation

Tomáš Roubı́ček, Jan Valdman|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Elasticity and Material Modeling参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、微小ひずみ下での完全加工硬化と勾配強化・可逆的（回復可能な）損傷を組み合わせた変分モデルを提案し、地球物理学的文脈における断層破壊と回復サイクルのシミュレーションを可能にする。時間分割法を用いた分数ステップ法と有限要素法を用い、弱解の存在を証明し、MATLABに実装した。準ニュートン法と二次計画法のソルバを用いて、エネルギー収支と力応答の安定的かつ収束性の高い数値シミュレーションを達成した。

ABSTRACT

The quasistatic, Prandtl-Reuss perfect plasticity at small strains is combined with a gradient, reversible (i.e. admitting healing) damage which influences both the elastic moduli and the yield stress. Existence of weak solutions of the resulted system of variational inequalities is proved by a suitable fractional-step discretisation in time with guaranteed numericalstability and convergence. After finite-element approximation, this scheme is computationally implemented and illustrative 2-dimensional simulations are performed. The model allows e.g. for application in geophysical modelling of re-occurring rupture of lithospheric faults. Resulted incremental problems are solved in MATLAB by quasi-Newton method to resolve elastoplasticity component of the solution while damage component is obtained by solution of a quadratic programming problem.

研究の動機と目的

• 破壊帯の内部に狭い加工硬化帯（shear bands）が形成され、周囲に広がる可逆的損傷領域を再現し、繰り返し発生する破壊を模倣する。
• 時間離散化された分数ステップスキームを用いて、変分不等式系の弱解の存在を厳密に証明し、安定性と収束性を保証する。
• 準ニュートン法と二次計画法をそれぞれ用いて、弾塑性と損傷成分の計算効率の高い有限要素法実装を開発する。
• 損傷の粘性係数を変化させた場合のエネルギー収支と力学的応答の数値的シミュレーションを可能とし、マルチスケール地球物理学的応用における適応的時間刻みの可能性を示す。

提案手法

• Prandtl-Reussの完全加工硬化と勾配損傷力学を組み合わせた微小ひずみモデルを定式化し、弾性係数と降伏応力がスカラー損傷変数に依存するように設定する。
• 時間依存性で可逆的（回復可能）な損傷モデルを導入し、完全損傷を防ぎ、数学的取り扱いやすさを確保する高次項を含む。
• 分数ステップ時間分割法を用いて弾塑性と損傷の進化を分離し、数値的安定性と弱解への収束性を保証する。
• 空間離散化に有限要素法を適用し、弾塑性部分問題には準ニュートン法、損傷部分問題には二次計画法を用いる。
• ひずみ勾配項を含む保存エネルギー関数を導入し、塑性と損傷の局所化を正則化し、表面エネルギー効果をモデル化する。
• 2次元シミュレーションによる数値的検証を行い、時間刻みと損傷粘性係数の変化に伴うエネルギー収支、力応答、収束性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微小ひずみ下で完全加工硬化と可逆的・勾配強化損傷を組み合わせたモデルを構築可能か。破壊帯の局所化と損傷の回復が両立できるか。
• RQ2 時間離散化された分数ステップスキームが、得られる変分不等式系に対して数値的安定性と弱解への収束性を保証するか。
• RQ3 損傷の粘性係数の選択が力学的応答に与える影響、特に破壊の発生時刻と伝播速度に与える影響は何か。また、無粘性・率独立型極限に収束するか。
• RQ4 数値シミュレーションにおいて、離散的エネルギー収支がどの程度満たされているか。また、a-posteriori誤差指標がマルチスケール地球物理学的プロセスにおける適応的時間刻みの指針として有効か。

主な発見

• モデルは、広がった損傷領域を取り囲む狭い加工硬化帯の形成をうまく再現し、地球物理学的断層コア構造と整合的である。
• 数値的シミュレーションでは、時間刻みτを小さくするにつれてエネルギー収支（3.9c）が理論的エネルギー等式（2.11c）に収束し、τ = 1 ksで最良の収束を示した。
• エネルギー収支のギャップが残っている場合でも、反力応答は良好に収束しており、力学的応答の予測の堅牢性が示された。
• 損傷粘性係数を小さくする（例：a₂ = 1 kPa·s）と、破壊が早期に発生し、伝播が速くなる。これは、無粘性・率独立型損傷モデルへの収束を示している。
• a-posterioriエネルギー残差は、適応的時間刻みの指針として有効であり、高速な破壊と遅い回復を併存させるマルチスケールプロセスの効率的シミュレーションを可能にする。
• 準ニュートン法と二次計画法ソルバを用いたMATLAB実装により、弾塑性と損傷成分が効果的に分離され、良好な安定性と収束性を達成した。