[論文レビュー] Perfect Quantum Error Correction Code

Raymond Laflamme, César Miquel+2 more|ArXiv.org|Feb 27, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 35

ひとこと要約

この論文は、最小限の物理的キュービット数を用いて、任意の1キュービットエラーに対して1つの論理キュービットを保護する完全な5キュービット量子誤り訂正符号を提示する。この符号は、符号化回路を逆向きに実行することでデコーダとしても機能する対称的な符号化回路を採用しており、測定されたアシスタントキュービットに基づくユニタリ回復操作により、完全なシンディーム抽出と完全な誤り訂正を実現する。

ABSTRACT

We present a quantum error correction code which protects a qubit of information against general one qubit errors which maybe caused by the interaction with the environment. To accomplish this, we encode the original state by distributing quantum information over five qubits, the minimal number required for this task. We give a simple circuit which takes the initial state with four extra qubits in the state |0> to the encoded state. The circuit can be converted into a decoding one by simply running it backward. Reading the extra four qubits at the decoder's output we learn which one of the sixteen alternatives (no error plus all fifteen possible 1-bit errors) was realized. The original state of the encoded qubit can then be restored by a simple unitary transformation.

研究の動機と目的

• すべての可能な1キュービットエラーを、物理的キュービットの最小数で訂正できる量子誤り訂正符号を開発すること。
• ユニタリ操作のみを用いて、1つの論理キュービットを5つの物理キュービットに符号化する量子回路を設計すること。
• 同じ回路を逆向きに実行することでデコードおよび誤り診断が可能であり、完全な誤り訂正が可能であることを示すこと。
• 古典的線形符号に基づかない真正の量子符号を確立すること。Shor や Steane のような従来の手法とは異なり、それらとは異なる。
• 1つの符号化キュービットあたり最大1つのエラーが発生すると仮定した場合に、符号が完全な忠実度に達することを証明すること。

提案手法

• 論理状態 |0_L⟩ と |1_L⟩ は、特定の5キュービットのエンタングルドスーパーポジションとして符号化され、一方の状態では2つのマイナス符号、もう一方では4つのマイナス符号を含む一意な符号パターンを持つ。
• 符号化回路は、入力キュービットと4つのアシスタントキュービット（|0⟩状態で準備）に順次制御NOTおよび制御回転ゲートを適用する。
• この回路は可逆である：逆向きに実行することで、符号化された状態を元のキュービットに戻すと同時に、アシスタントキュービットにエラーシンディームを測定する。
• 逆回路を実行した後、4つのアシスタントキュービットを測定することで、シンディームが得られ、5つのキュービットのいずれか1つに発生したエラーの種別（エラーなし、ビット反転、位相反転、ビット・位相反転）を一意に特定できる。
• エラー訂正は、測定されたシンディームに依存するユニタリ操作を論理キュービットに適用することで完了し、元の状態を完全な忠実度で回復する。
• すべての可能な1キュービットエラーが符号化された状態を互いに直交する部分空間に写像するように符号が構成されており、誤りの明確な検出が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 理論的最小値である5つの物理キュービットのみを用いて、すべての1キュービットエラーを訂正できる量子誤り訂正符号を構築できるか？
• RQ2 符号化とデコーディングの両方の目的に使える対称的量子回路を設計することは可能か？
• RQ3 古典的線形符号に基づかない真正の量子符号を開発でき、完全な誤り訂正を達成できるか？
• RQ4 完全な誤り訂正を可能にする符号化状態における符号パターンの背後にある数学的構造は何か？
• RQ5 データキュービットへの射影測定を一切行わず、ユニタリ操作とアシスタントキュービットのみを用いて、どのようにしてエラーシンディームを抽出できるか？

主な発見

• この論文は、すべての可能な1キュービットエラーを、物理的キュービットの理論的最小数である5つを用いて訂正できる完全な5キュービット量子誤り訂正符号を構築している。
• 符号化とデコーディングは、同じ量子回路を逆向きに実行することで実現され、効率的なシンディーム抽出と誤り診断が可能である。
• 逆回路を実行した後、アシスタントキュービットを測定することで、エラーの種別と位置を一意に特定でき、エラーなしと15通りの1キュービットエラーに対応する16通りの異なる結果が得られる。
• 1つのキュービットに最大1つのエラーが発生すると仮定した場合、符号は完全な忠実度に達する。高次のエラーに対しては忠実度が 1 - cp² のようにスケーリングされる。
• 符号化された状態は、特定の符号パターン（1つの論理状態で2つのマイナス符号、もう一方で4つのマイナス符号）を用いて構築されており、これはエラーシンディームの直交性を実現するために不可欠である。
• この符号は古典的線形符号ではない。特に符号の符号分布に関する数学的構造は、今後の研究のための未解決の問題のまま残っている。