[論文レビュー] Perfect sampling from spatial mixing

Weiming Feng, Heng Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2019

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、スピン系におけるギブス分布のための新しい完全サンプリングアルゴリズムを紹介しており、相関が近隣の成長より速く減少する場合、期待時間で線形時間で実行される。条件付き独立性と空間混合性を活用して、効率的かつ中断可能なサンプリングを実現し、強い空間混合性が成り立つ際、格子グラフ $\mathbb{Z}^d$ において最適な性能を発揮する。

ABSTRACT

We introduce a new perfect sampling technique that can be applied to general Gibbs distributions and runs in linear time if the correlation decays faster than the neighborhood growth. In particular, in graphs with sub-exponential neighborhood growth like $\mathbb{Z}^d$, our algorithm achieves linear running time as long as Gibbs sampling is rapidly mixing. As concrete applications, we obtain the currently best perfect samplers for colorings and for monomer-dimer models in such graphs.

研究の動機と目的

• 一般のギブス分布に対して、効率的かつ中断可能な完全サンプリングアルゴリズムを開発すること。
• 空間混合性と線形時間完全サンプリングの間の関係を確立すること。
• ギブス分布の変化する時間に依存する動的設定に対しても、効率的な完全サンプリングを拡張すること。
• $\mathbb{Z}^d$ 上の彩色やモノマー・ダイマー系といった代表的なモデルに対して、最適な実行時間の達成すること。
• ハイパーグラフスピン系を用いた多体相互作用へのアプローチの一般化すること。

提案手法

• アルゴリズムは、局所的近傍に基づくブロック更新戦略を用い、各更新はランダムに選ばれた頂点の $l$ ラジウスの球上で実行される。
• 各ステップで、再サンプリングが必要な頂点の集合 $\mathcal{R}$ を維持し、システムの更新後に $\mathcal{D} \cup \partial\mathcal{D}$ として初期化する。
• 各ステップで、$\mathcal{R}$ から一様にランダムに頂点 $u$ を選択し、現在の境界値を条件とした $u$ の $l$-近傍の配置を再サンプリングする。
• 再サンプリングステップでは、条件付き確率の下界を用いた拒否サンプリングを適用し、正しさを保証するとともに、目的分布を維持する。
• アルゴリズムはギブス分布の条件付き独立性の性質により正しく、終了時に正確なサンプルが得られる。
• 中断可能である：中間での終了でも、目的分布からの有効なサンプルが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間混合性のもとで、一般のギブス分布に対する完全サンプリングが線形時間で達成可能か？
• RQ2 相関の減衰率が近隣成長を上回る場合、空間混合性が効率的完全サンプリングを保証するか？
• RQ3 アルゴリズムは中断可能であり、システムの変化に効率的に適応可能か？
• RQ4 多体相互作用を有する系へもこの手法を拡張可能か？
• RQ5 空間混合性のもとで、$\mathbb{Z}^d$ 上の彩色やモノマー・ダイマー系の完全サンプリングの実行時間複雑度はいかほどか？

主な発見

• 強い空間混合性が成り立ち、近隣成長が指数的でないグラフ（例：$\mathbb{Z}^d$）では、アルゴリズムの期待実行時間は $O(n)$ である。
• 格子グラフ $\mathbb{Z}^d$ では、ギブスサンプラーの混合時間が $O(n\log n)$ である限り、線形時間で実行可能である。
• アルゴリズムは中断可能である：中間での終了でも、目的分布からの正しいサンプルが得られる。
• システムの動的更新に対しても、更新後のモデルにおいて空間混合性が成り立つ限り、完全サンプリングの効率性を維持する。
• 適切な空間混合性の変種のもとで、ハイパーグラフスピン系における多体相互作用への一般化が可能である。
• 本手法は、$\mathbb{Z}^d$ 上のリスト彩色やモノマー・ダイマー系に対して、現在最も優れた完全サンプリング器を提供する。