[論文レビュー] Perfect Sampling of GI/GI/c Queues

José Blanchet, Jing Dong+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2015

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般の到着間隔およびサービス時間分布を有するGI/GI/cキューのための、初めての正確サンプリングアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、支配的コペリング・フォーム・ザ・パス（DCFTP）フレームワークを用い、定常上界としての結合マルチサーバー休暇システムを導入することで、有限の期待終了時間を達成する。この方法により、2+εモーメントの弱い条件下でも、バイアスなしに定常分布からの正確なサンプリングが可能となる。

ABSTRACT

We introduce the first class of perfect sampling algorithms for the steady-state distribution of multi-server queues with general interarrival time and service time distributions. Our algorithm is built on the classical dominated coupling from the past protocol. In particular, we use a coupled multi-server vacation system as the upper bound process and develop an algorithm to simulate the vacation system backwards in time from stationarity at time zero. The algorithm has finite expected termination time with mild moment assumptions on the interarrival time and service time distributions.

研究の動機と目的

• 一般の到着間隔およびサービス時間分布を有するマルチサーバーキューの正確サンプリングアルゴリズムを開発すること。過去の手法ではポisson到着を仮定していた。
• 入力分布のモーメントに関する弱い仮定のもとで、サンプリングアルゴリズムの有限な期待実行時間を保証すること。
• 後向きシミュレーションと共食い検出を可能にする、定常上界プロセス（結合マルチサーバー休暇システム）を構築すること。
• 一般の再生過程を時間の逆方向にシミュレートする課題を克服するため、新規の結合構成を導入すること。
• M/M/cキューにおける数値実験とスケーラビリティ解析を通じて、アルゴリズムの正しさと効率性を検証すること。

提案手法

• GI/GI/cキューの定常分布から正確にサンプリングするため、支配的コペリング・フォーム・ザ・パス（DCFTP）プロトコルを用いる。
• 定常上界プロセスとしての結合マルチサーバー休暇システムを採用し、これは可逆的であり、後向きシミュレーションに適している。
• 共通の確率変数を時間の逆方向に適用して、上界および下界プロセスを同時にシミュレートし、単調性を活用して共食いを検出する。
• 共食い時刻を効率的に特定するため、時間間隔を倍増させる再帰的二分探索戦略を実装する。
• 到着およびサービス／休暇時間の再生過程シミュレーションに、逆変換法および均衡分布サンプリングを用い、後向きにサンプリングする。
• 共食い時刻から前向きにプロセスを再構築し、時刻0における定常分布からのサンプルを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポisson到着を仮定しない一般の到着間隔およびサービス時間分布を有するGI/GI/cキューに対して、正確サンプリングが達成可能か？
• RQ2 到着間隔およびサービス時間分布のモーメントにどのような条件が課されると、正確サンプリングアルゴリズムの有限な期待実行時間が保証されるか？
• RQ3 一般サービス時間を持つマルチサーバーキューに対して、後向きシミュレーションを可能にする定常上界プロセスをどのように構築できるか？
• RQ4 非マルコフ型キューにおけるDCFTPフレームワークにおいて、単調性と共通の確率変数を活用して共食い検出を改善できるか？
• RQ5 アルゴリズムの計算複雑性は、システムサイズおよびトラフィック強度とどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 到着間隔およびサービス時間分布が、あるε>0に対して有限の2+εモーメントを持つという仮定のもと、アルゴリズムは有限の期待終了時間を達成する。
• M/M/cキューにおいて、5,000回の正確シミュレーションによる経験的分布は、理論的な定常分布とよく一致しており、正しさが検証された。
• 品質志向型（QD）領域では、平均共食い時間はシステム規模の増加に伴いわずかに増加する：s=100のとき6.42からs=1000のとき7.75に増加。
• 品質および効率志向型（QED）領域では、平均共食い時間はより顕著に増加するが、依然として中程度の水準を維持する：s=100のとき6.51からs=1000のとき9.47に増加。
• 計算複雑性は(1−ρ)⁻²にほぼ比例し、全再生過程のサンプル数と(1−ρ)²の積がρの値にかかわらずほぼ一定に保たれる。これは理論的スケーリング行動を確認する。
• トラフィック強度の変化に対してアルゴリズムの性能は頑健であり、ρ→1に近づくと複雑性は著しく増加するが、(1−ρ)²を乗じた正規化された複雑性は、λに比例する定数因子で安定する。