[論文レビュー] Perfect Sampling of Hawkes Processes and Queues with Hawkes Arrivals

Xinyun Chen|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2020

Point processes and geometric inequalities参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ハーケス/GI/1キューのための最初の完全サンプリングアルゴリズムを提示し、定常分布からの正確なi.i.d.サンプリングを可能にしている。本稿では、ハーケス過程のクラスタ表現における重要度サンプリングを用いた、新たな効率的完全サンプリング手法を導入し、従来の手法と比較して計算効率を著しく向上させ、有限の期待終了時間を持つ自己励起キューイングシステムの正確なシミュレーションを可能にしている。

ABSTRACT

In this paper we develop the first perfect sampling algorithm for queues with Hawkes input, i.e. single-server queues with Hawkes arrivals and i.i.d. service times of general distribution. In addition to the stability condition, we also assume the excitation function of the Hawkes process has a light tail and the service time has finite moment generating function in the neighborhood of the origin. In this procedure, we also propose a new perfect sampling algorithm for Hawkes process with improved computational efficiency compared to the existing algorithm. Theoretical analysis and numerical tests on the algorithms' correctness and efficiency are also included.

研究の動機と目的

• 自己励起を示す到着を有する単一サーバキューのための最初の完全サンプリングアルゴリズムを開発すること。
• 従来の手法では解析的に扱いにくい、相関のある自己励起到着を有するキューにおける定常状態の待ち時間のシミュレーションに課題を提起すること。
• 無限の期待計算量を有する従来のアプローチに起因する問題を克服し、有限の期待終了時間を持つハーケス過程のための新しい完全サンプリングアルゴリズムを設計すること。
• 自己励起到着を有するキューイングシステムにおける定常状態の性能指標（平均待ち時間やその分散など）の正確な数値計算を可能にすること。
• 正確なシミュレーションを用いて、自己励起がキューイング性能に与える影響、特に待ち時間分布および分散に与える影響を調査すること。

提案手法

• ハーケス過程のクラスタ表現を用いて、各親イベントが引き起こすイベントのクラスタとして到着をモデル化し、効率的なシミュレーションを可能にする。
• クラスタ表現における重要度サンプリングを適用することで、期待されるランダムシードの数を削減し、有限の期待終了時間を保証する。
• プロセス $R(n)$ を支配するカップルドランダムウォーク $\tilde{R}(m)$ を構築し、$\max_{m\geq n}\tilde{R}(m)$ を用いて $\max_{n\geq 0}R(n)$ をシミュレートする。
• 定常状態の待ち時間は $\max_{n\geq 0}R(n)$ として表現され、ランダムウォーク理論の技術を用いて支配プロセスと同時にこの最大値をシミュレートする。
• コalescence（合流）をカップリング・フォーム・ザ・パスの枠組み内で行うことで正確なサンプリングを保証し、$B=0$ のベルヌーイ試行が観測された時点で終了を保証する。
• ナイーブなシミュレーションの混合時間と完全サンプリングアルゴリズムの期待されるサンプルパス長さを比較する数値実験により、本手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己励起的かつ従属的な到着を有する単一サーバキューのための完全サンプリングアルゴリズムを開発することは可能か？
• RQ2 既存のハーケス過程の完全サンプリングアルゴリズムが有する無限の期待計算量の問題をどのように克服できるか？
• RQ3 ハーケス/GI/1キューにおいて、完全サンプリングアルゴリズムの期待されるサンプルパス長さとナイーブなシミュレーションの混合時間の関係は何か？
• RQ4 到着の自己励起が、キューにおける定常状態の仮想待ち時間の平均および分散に与える影響は何か？
• RQ5 本稿で提案されたクラスタ表現における重要度サンプリング手法は、クラスタ構造を有する他の点過程へ一般化可能か？

主な発見

• 提案されたハーケス/GI/1キューのための完全サンプリングアルゴリズムは、有限の期待サンプルパス長を持つ。テスト例では $E[T_{ps}] \approx 28.4936$ であり、ナイーブなシミュレーションの混合時間 $T \approx 40$ より短い。
• 生成されたサンプルパスの50%以上が20時間単位未満であるため、多くの場合で迅速な収束が確認された。
• 10%以上のサンプルパスが50時間単位を超えており、これは $T < 50$ のナイーブシミュレーションにおいて持続的な一時的バイアスが生じる理由を説明している。
• 自己励起は定常状態待ち時間の平均および分散を両方とも増加させる。$h_1 = 0.7$ の場合、$E[W_\infty] = 3.4388$ および $Var(W_\infty) = 34.8779$ であり、分散対平均比は 10.1425 である。
• 分散対平均比は自己励起の程度に応じて上昇し、低励起時（2.0567）から高励起時（10.1425）にまで上昇し、クラスタリング到着による分散の増加を示している。
• 本稿で提案されたハーケス過程のための新しい完全サンプリングアルゴリズムは、有限の期待終了時間を達成し、[22]で提示された既存手法（無限の期待計算量を有する）を上回る性能を発揮している。