[論文レビュー] Perfect simulation and finitary coding for multicolor systems with interactions of infinite range

Antonio Galves, Nancy L. Garcia+1 more|ArXiv.org|Sep 20, 2008

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ℤᵈ 上の多色相互作用粒子系に対して、無限範囲相互作用を有する場合の完全シミュレーションアルゴリズムを提示する。無限範囲遷移率の可算混合表現を用いて、有限範囲成分への分解を実現し、i.i.d. プロセスから系の不変測度への有限的コーディングを可能にする。この手法により、単調性や双対性の仮定なしに、非マルコフ的・非一様的・長距離型モデルへ既存結果を拡張し、指数的エルゴード性を確立する。

ABSTRACT

We consider a particle system on $Z^d$ with finite state space and interactions of infinite range. Assuming that the rate of change is continuous and decays sufficiently fast, we introduce a perfect simulation algorithm for the stationary process. The algorithm follows from a representation of the multicolor system as a finitary coding from a sequence of independent uniform random variables. This implies that the process is exponentially ergodic. The basic tool we use is a representation of the infinite range change rates as a mixture of finite range change rates.

研究の動機と目的

• 無限範囲で連続的かつ急速に減衰する遷移率を有するℤᵈ 上の多色系に対する完全シミュレーションアルゴリズムの開発。
• このような系の不変測度への有限値i.i.d. プロセスからの有限的コーディングの存在を確立すること。
• マルコフ的・有限範囲的・単調的モデルに限らない既知の有限的コーディングおよび完全シミュレーション結果の拡張。
• 遷移率の弱い正則性条件のもとで、過程の指数的エルゴード性を証明すること。
• 双対性や吸引力の仮定に依存せず、バックワードおよびフォワードのシミュレーション手順を用いて、定常過程の自己完備的構成を提供すること。

提案手法

• 定理1を用いて、無限範囲遷移率 $ c_i(a,\eta) $ を有限範囲率への可算混合として表現し、局所的近似を可能にする。
• 時間の逆方向に過程の履歴をシミュレートするバックワード・ブラックアンドホワイト・スケッチアルゴリズムを構築し、幾何的尾部バウンドによりほとんど確実に停止する。
• 混合表現と条件付き率に基づき、ブラックアンドホワイト・スケッチに実際の色を割り当てるフォワードアルゴリズムを用いる。
• 長距離影響の減衰に依存し、カップリング論法と劣マルティンゲール不等式を用いて、ほとんど確実な有限停止時刻を確立する。
• 停止時刻 $ V_{\text{STOP}} $ のモーメントをバウンドすることで指数的エルゴード性を証明し、$ \mathbb{E}[V_{\text{STOP}}] \leq \frac{1}{1 - \bar{\lambda}} $ を得る。
• 完全シミュレーション出力を用いて、原点における出力が入力の有限な確率的部分集合にのみ依存する、空間不変かつ可測な写像として有限的コーディングを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遷移率の連続性および減衰条件が弱い条件下でも、多色系の無限範囲相互作用に対して完全シミュレーションアルゴリズムを構築可能か？
• RQ2 このような系が、マルコフ的または単調性の仮定なしに、有限i.i.d. プロセスから不変測度への有限的コーディングを有するか？
• RQ3 双対性や吸引力に依存せず、定常過程の存在を構成的証明可能か？
• RQ4 無限範囲相互作用粒子系において、指数的エルゴード性を保証する条件は何か？
• RQ5 無限範囲レート構造を、シミュレーションを可能にする有限範囲成分への可算混合にどのように分解できるか？

主な発見

• 完全シミュレーションアルゴリズムはほとんど確実に有限時間で停止し、$ \mathbb{E}[V_{\text{STOP}}] \leq \frac{1}{1 - \bar{\lambda}} $ を満たし、計算コストが有限であることを保証する。
• 停止時刻のモーメントバウンドにより指数的エルゴード性が確立され、不変測度への収束が速いことが示される。
• 定理4により、有限値i.i.d. プロセスから系の不変測度への有限的コーディングが存在することが示され、マルコフ的でない・無限範囲のモデルへ結果を拡張する。
• Van den Berg と Steif (1999)、および Häggström と Steif (2000) の結果を一般化し、非マルコフ的・長距離ギブス測度へも適用可能となる。
• ヒートバスダイナミクスでは、$ \alpha(-1) > \frac{2d}{2d+1} $ が停止時刻の期待値が有限であることを保証し、$ \alpha(-1) = \sum_{a \in A} \min_{\zeta(\partial 0) \in A^{\partial 0}} \mathcal{Q}(X(0)=a \mid X(\partial 0)=\zeta(\partial 0)) $ が成り立つ。
• 無限範囲レートを有限範囲レートの混合として表現する（定理1）は、完全シミュレーションと有限的コーディングの両者を可能にする主要な技術的ツールである。