[論文レビュー] Perfect state transfer, integral circulants and join of graphs

Ricardo Javier Angeles-Canul, Rachael M. Norton+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グラフ結合演算と巡回行列一般化を用いて、量子ネットワークにおける完全状態転送を示す新しいグラフ族を導入する。16の倍数であるnおよびb ∈ {1,2}に対して、ICGₙ({2, n/2ᵇ} ∪ Q)のような整数巡回グラフを構成し、Godsilが提起した未解決問題に答え、非周期的二重錐グラフにおける完全状態転送を証明する。

ABSTRACT

We propose new families of graphs which exhibit quantum perfect state transfer. Our constructions are based on the join operator on graphs, its circulant generalizations, and the Cartesian product of graphs. We build upon the results of Bašić et al \cite{bps09,bp09} and construct new integral circulants and regular graphs with perfect state transfer. More specifically, we show that the integral circulant $ extsc{ICG}_{n}(\{2,n/2^{b}\} \cup Q)$ has perfect state transfer, where $b \in \{1,2\}$, $n$ is a multiple of 16 and $Q$ is a subset of the odd divisors of $n$. Using the standard join of graphs, we also show a family of double-cone graphs which are non-periodic but exhibit perfect state transfer. This class of graphs is constructed by simply taking the join of the empty two-vertex graph with a specific class of regular graphs. This answers a question posed by Godsil \cite{godsil08}.

研究の動機と目的

• 未変調量子スピンネットワークにおいて完全状態転送を示す新しいグラフ族を構築すること。
• グラフ結合演算を巡回構造を保つように一般化し、完全状態転送を可能にする巡回結合に拡張すること。
• Godsilが提起した非周期的グラフにおける完全状態転送に関する未解決問題に答え、二重錐族を構築すること。
• 整数巡回グラフおよびカルテシアン積における既知の完全状態転送の結果を、より広いクラスのグラフへと拡張すること。
• 合成グラフにおける完全状態転送の存在を、その成分に関する条件に還元し、体系的な構築を可能にすること。

提案手法

• 巡回グラフGの2つのコピーを巡回行列Cを用いて接続する、巡回結合演算G+ₜC Gを導入。これは標準的結合とカルテシアン積の間を補間する。
• cos(t*√(CᵀC)) = ±I かつ G が時間t*で完全状態転送を示すならば、G+ₜC G も時間t*で完全状態転送を示すことを証明する。
• Cが回文巡回行列である場合、巡回結合は巡回グラフを生成するため、新しい整数巡回グラフの構築が可能になる。
• b ∈ {1,2}、nが16の倍数、Qがnの奇数因子の部分集合である場合に、家族ICGₙ({2, n/2ᵇ} ∪ Q)を新しい完全状態転送を示すクラスとして導出する。
• 同じ完全状態転送時間を有する複数のグラフのカルテシアン積およびグラフのm重自己結合における閉包性質を確立する。
• 2つの正則グラフGとHの結合G+Hにおける完全状態転送条件を、Gのスペクトル的条件およびサイズと次数に関する制約に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ結合演算を巡回構造を保ちつつ一般化し、新しいグラフ族における完全状態転送を可能にすることができるか？
• RQ2 b ∈ {1,2} かつ nが16の倍数である場合、形の整数巡回グラフICGₙ({2, n/2ᵇ} ∪ Q)は完全状態転送を示すか？
• RQ3 K̄₂と正則グラフの結合により、非周期的グラフにおける完全状態転送を構築できるか。これはGodsilの未解決問題に答える。
• RQ4 グラフのm重自己結合が完全状態転送を保つための条件は何か？
• RQ5 すべての成分が同じ完全状態転送時間を有する複数のグラフのカルテシアン積において、完全状態転送を保証できる条件は何か？

主な発見

• b ∈ {1,2}、nが16の倍数、Qがnの奇数因子の部分集合である場合、整数巡回グラフICGₙ({2, n/2ᵇ} ∪ Q)は完全状態転送を示す。
• cos(t*√(CᵀC)) = ±I かつ G が時間t*で完全状態転送を示すならば、巡回結合構成G+ₜC Gは完全状態転送を保つ。
• K̄₂ + G（K₂の補グラフと正則グラフGの結合により得られる二重錐グラフ）は完全状態転送を示し、非周期的である。
• m重自己結合∑ₖ₌₁ᵐ Gにおける完全状態転送は、Gに関する条件および追加のスペクトル的制約に還元可能であり、体系的な構築が可能になる。
• 同じ完全状態転送時間を有する複数の完全状態転送グラフのカルテシアン積も、完全状態転送を示す。
• 本稿は、結合演算を用いて非周期的グラフの完全状態転送を示す新しい家族を構築することで、Godsilの未解決問題に答えている。