[論文レビュー] Perfect state transfer of quantum walks on quotient graphs

Rachel Elizabeth Bachman, Eric Fredette+5 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、商グラフ上の量子ウォークにおける完全状態転送が、均等分割を介して保存されることを確立し、非対称な頂点間の状態転送を可能にする。また、商グラフのカルテジアン積が、元のグラフのカルテジアン積の商と同型であることを証明し、多ボソン量子ウォーク構成の代数的基盤を提供する。

ABSTRACT

We prove new results on perfect state transfer of quantum walks on quotient graphs. Since a graph $G$ has perfect state transfer if and only if its quotient $G/\pi$, under any equitable partition $\pi$, has perfect state transfer, we exhibit graphs with perfect state transfer between two vertices but which lack automorphism swapping them. This answers a question of Godsil (Discrete Mathematics 312(1):129-147, 2011). We also show that the Cartesian product of quotient graphs $\Box_{k} G_{k}/\pi_{k}$ is isomorphic to the quotient graph $\Box_{k} G_{k}/\pi$, for some equitable partition $\pi$. This provides an algebraic description of a construction due to Feder (Physical Review Letters 97, 180502, 2006) which is based on many-boson quantum walk.

研究の動機と目的

• Godsil (2011) が提起した、任意の自己同型写像によって入れ替えられない頂点間で完全状態転送が存在するかという問題を解決すること。
• 任意の均等分割に関する商グラフにおける完全状態転送と元のグラフにおける完全状態転送との間の対応関係を確立すること。
• 商グラフのカルテジアン積の代数的特徴付けを提供し、それと元のグラフのカルテジアン積の商とを結びつけること。
• Feder (2006) の多ボソン量子ウォーク構成を、商グラフを用いて形式的な代数的記述を提供すること。

提案手法

• グラフの均等分割の理論を用いて、量子ウォークに関連するスペクトル性質を保存する商グラフを定義する。
• スペクトルグラフ理論を活用し、任意の均等分割に関するグラフとその商における完全状態転送の等価性を適用する。
• グラフのカルテジアン積の構造を用いて、適切な均等分割 $\pi$ に対して $\Box_k G_k / \pi$ が $\Box_k (G_k / \pi_k)$ と同型であることを示す。
• 行列代数と固有値解析を用いて、商グラフの隣接行列が元のグラフのダイナミクスを反映することを示す。
• 既知の完全状態転送およびスペクトル分解に関する結果に依拠し、商化の下でも性質が不変であることを証明する。
• 商グラフの代数的構造を、特にFederの研究における多ボソン系のような物理的量子ウォークモデルと結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全状態転送は、任意の自己同型写像によって入れ替えられない2つの頂点間で発生しうるか？
• RQ2 グラフにおける完全状態転送は、任意の均等分割に関するその商においても完全状態転送を示すか？
• RQ3 適切な均等分割の下で、商グラフのカルテジアン積は、元のグラフのカルテジアン積の商と同型か？
• RQ4 商グラフによる多ボソン量子ウォークの構成は、代数的特徴付けが与えられるか？
• RQ5 量子ウォークダイナミクスの文脈において、グラフのスペクトル性質とその商との関係は何か？

主な発見

• 本稿は、自己同型写像によって入れ替えられない頂点間でも完全状態転送が発生しうることを確認し、Godsilの問いに肯定的に答えを出す。
• 任意の均等分割 $\pi$ に対して、グラフ $G$ が完全状態転送を持つことと、その商 $G/\pi$ が完全状態転送を持つことは同値であることを証明する。
• 特定の均等分割 $\pi$ に対して、商グラフのカルテジアン積 $\Box_k G_k / \pi_k$ が、グラフ $\Box_k G_k / \pi$ と同型であることを示し、構造的同型性を確立する。
• この同型性は、Federの多ボソン量子ウォーク構成に代数的フレームワークを提供し、これまで物理的直感に基づいて記述されていたものを補完する。
• 結果として、均等分割によって保存されるスペクトル性質に依存して、商グラフ上の量子ウォークのダイナミクスが完全に決定されることを示す。
• このフレームワークにより、転送の対象となる頂点を交換する自己同型写像が存在しない場合でも、完全状態転送を有するグラフを体系的に構成可能になる。