[論文レビュー] Perfect vector sets, properly overlapping partitions, and largest empty box

Adrian Dumitrescu, Minghui Jiang|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$n$ 個の点が $d$ 次元単位超立方体に配置された場合に、体積が少なくとも $\frac{\log d}{4(n + \log d)}$ の空の軸に平行な直方体を $O(n + d\log d)$ 時間で計算するアルゴリズムを提示する。本稿は、最小体積の最大空直方体 $A_d(n)$ に対するタイトな下界を導くために、完全ベクトル集合と適切に重複する分割の概念を新たに導入し、極値集合論と関連付けることで、$A_d(n)$ の漸近的挙動の理解を向上させる。

ABSTRACT

We revisit the following problem (along with its higher dimensional variant): Given a set $S$ of $n$ points inside an axis-parallel rectangle $U$ in the plane, find a maximum-area axis-parallel sub-rectangle that is contained in $U$ but contains no points of $S$. (I) We present an algorithm that finds a large empty box amidst $n$ points in $[0,1]^d$: a box whose volume is at least $\frac{\log{d}}{4(n + \log{d})}$ can be computed in $O(n+d \log{d})$ time. (II) To better analyze the above approach, we introduce the concepts of perfect vector sets and properly overlapping partitions, in connection to the minimum volume of a maximum empty box amidst $n$ points in the unit hypercube $[0,1]^d$, and derive bounds on their sizes.

研究の動機と目的

• $[0,1]^d$ 内の $n$ 個の点の間で、大きな空の軸に平行な直方体を計算する効率的なアルゴリズムを開発すること。
• $[0,1]^d$ 内のすべての $n$ 点集合における最大空直方体の最小体積 $A_d(n)$ の漸近的挙動を理解すること。
• $A_d(n)$ の下界を導くための道具として、完全ベクトル集合と適切に重複する分割の概念を導入し、その分析を行うこと。
• これらの組合せ的構造と古典的極値集合論（例えば、Sperner系やLYM不等式）との関係を確立すること。
• $A_d(n)$ が $\Theta(\log d / n)$ またはそれ以上に成長するかどうかを特定し、$A_d(n)$ の成長率に関する未解決問題を解明すること。

提案手法

• アルゴリズムは、点を通る超平面による超立方体の再帰的分割戦略に依存し、大きな空のスライスを選択する。
• 体積が少なくとも $\frac{\ell+1}{n + \ell + 1}$ であるような、正確に $\ell = \lfloor \log d \rfloor $ 個の点を含む直方体が存在することを活用する。
• $\ell$ 個の内部点の座標を $\{0,1,\dots,a-1\}$ 上の $d$ 個のベクトルとして符号化し、ベクトル集合 $\mathcal{V}$ を構成する。
• 完全ベクトル集合の概念を適用：集合 $\mathcal{V}$ が完全であるとは、任意の $t$ 個のベクトルが、すべての成分で値が異なる座標を持つこと。
• 適切に重複する分割は、任意の $t$ 個の分割が少なくとも1つの部分で共通の重複を持つような分割族であり、極値集合論を用いてそのサイズが制限されることを示す。
• 分析では、完全集合の非存在が、ベクトル符号化における未被覆の組合せを介して、大きな空の直方体の存在に結びつく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $[0,1]^d$ 内の最大空直方体の体積は、$\Omega(\log d / n)$ で下界づけられるか？
• RQ2 $[n]$ の $t$ 回にわたる適切に重複する $a$ 分割の族の最大サイズの漸近的成長率は何か？
• RQ3 完全ベクトル集合と適切に重複する分割は、極値集合論や不均衡理論とどのように関係するか？
• RQ4 このような分割族が超指数的サイズで存在する場合、$A_d(n)$ は対数的成長より速くなるか？
• RQ5 すべての $d$ に対して $A_d(n) \leq d^{O(1)}/n$ が成り立つか？

主な発見

• $n$ 個の点が $[0,1]^d$ に配置された場合に、体積が少なくとも $\frac{\log d}{4(n + \log d)}$ の空の直方体を $O(n + d\log d)$ 時間で計算するアルゴリズムが開発された。
• 本稿では $A_d(n) \geq \frac{\log d}{4(n + \log d)}$ が確立され、Aistleitner ら [4] が得た既知の最良下界と一致する。
• 固定された $a,t \geq 2$ に対して、$[n]$ の $t$ 回にわたる適切に重複する $a$ 分割の族の最大サイズは、$n$ に関して指数関数的に成長することが示された。
• 完全ベクトル集合と適切に重複する分割の間の同値性が正式に証明され、$A_d(n)$ の組合せ的下界の構築が可能になった。
• このような分割族が超指数的サイズで存在するならば、$A_d(n) = \omega(\log d / n)$ が成立するが、実際にはこのような族は指数的であるため、その状況は成立しない。
• 本稿では、$A_d(n)$ が (1) の指数的上界よりも $\Theta(\log d / n)$ に近い可能性が高いことが解明され、$A_d(n) \leq d^{O(1)}/n$ が成立する可能性があると結論づけた。