[論文レビュー] Performance of the Quantum Approximate Optimization Algorithm on the Maximum Cut Problem

Gavin E. Crooks|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用数 80

ひとこと要約

本論文は MaxCut に対する QAOA を研究し、バッチ訓練されたプロトコルが低深度で Goemans-Williamson と同等になり、高深度でそれを上回ること、グラフサイズを問わず頑健に動作すること、限られた接続性のハードウェア上で実装が実現可能であることを示している。

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) is a promising approach for programming a near-term gate-based hybrid quantum computer to find good approximate solutions of hard combinatorial problems. However, little is currently know about the capabilities of QAOA, or of the difficulty of the requisite parameters optimization. Here, we study the performance of QAOA on the MaxCut combinatorial optimization problem, optimizing the quantum circuits on a classical computer using automatic differentiation and stochastic gradient descent, using QuantumFlow, a quantum circuit simulator implemented with TensorFlow. We find that we can amortize the training cost by optimizing on batches of problems instances; that QAOA can exceed the performance of the classical polynomial time Goemans-Williamson algorithm with modest circuit depth, and that performance with fixed circuit depth is insensitive to problem size. Moreover, MaxCut QAOA can be efficiently implemented on a gate-based quantum computer with limited qubit connectivity, using a qubit swap network. These observations support the prospects that QAOA will be an effective method for solving interesting problems on near-term quantum computers.

研究の動機と目的

• 近年の量子デバイス上で MaxCut を解くための QAOA の有効性を動機づけ、評価する。
• 問題インスタンスのバッチ上で QAOA パラメータを最適化して訓練戦略を探る。
• QAOA の深さ（P）が近似品質に与える影響と、グラフサイズとどのようにスケールするかを評価する。
• ゲート数や量子ビットの接続性を含む実装上の実用的な考慮事項を調査する。
• 類似データセットに対する Goemans-Williamson 古典アルゴリズムとの性能を QAOA と比較する。

提案手法

• MaxCut を計算基底で対角化されたコストハミルトニアンにエンコードする。H_C = (1/2) sum_{i,j in E} C_{ij}(1 - σ_i^z σ_j^z).
• 一様重ね合わせを準備し、P ステップでパラメータ (β_p, γ_p) によるコスト演化とドライバ演化を交互に適用する。
• バックプロパゲーションを活用する量子回路シミュレータ（QuantumFlow/TensorFlow）上で自動微分を用いた確率的勾配降下法でパラメータを学習する。
• Erdős–Rényi 集合から描かれたグラフのバッチで最適化して、あるクラスのインスタンスに対して効果的なプロトコルを得るよう訓練を償却する。
• サンプル化した回路出力に対してコスト期待値のモンテカルロ推定を用いて性能を評価する。
• 回路深さの影響（P）を評価し、実装の制限リソースとして2量子ビットゲートを用いたゲート数を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限深度 P の QAOA は、Goemans-Williamson のような古典的な MaxCut の近似解をランダムグラフ上で上回るか？
• RQ2 ER グラフにおける問題サイズの増加に対して QAOA の性能はどうスケールするか？
• RQ3 バッチでの訓練は複数の問題インスタンスに有効な普遍的プロトコルを生み出せるか？
• RQ4 限られた接続性を持つ近市場デバイス上で QAOA を実装する際の実用的なゲート数の影響は？

主な発見

• 10ノードグラフでは、P = 5 の QAOA は同じデータセットに対して Goemans-Williamson の平均性能と同等である。
• QAOA の性能は回路深度の増加とともに向上し、P = 8 までで Goemans-Williamson を大幅に上回る。
• 近似比はグラフサイズとともに変動するが、Erdős–Rényi 集合では P ≥ 8 の場合サイズ依存性は強くない。
• P が異なる最適化プロトコルは線形アニールスケジュールに似ており、効果的なスケジュールには単純な構造があることを示唆する。
• グラフのバッチでの訓練は償却最適化を可能にし、インスタンスのクラス全体に有効なプロトコルを生み出す。