[論文レビュー] Period adding and incrementing gluing bifurcations in one-dimensional piecewise-smooth maps: theory and applications

Albert Granados, Lluı́s Alsedà+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 93被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元の区分的滑らかでない写像における周期追加および周期増加分岐の厳密な十分条件を確立し、周期軌道がファレイ木構造に従う記号列（周期追加）またはブロック接続（周期増加）を経て出現することを示している。これらは、1つまたは両方の定義域で向きが保存される条件下で、それぞれ連続的加算または定数加算によって周期が増加する。

ABSTRACT

In this review article we provide sufficient conditions for the occurrence of the so-called period adding and period incrementing bifurcations scenarios in piecewise-smooth one-dimensional maps, and we show how these results can be easily applied to real-world applications. The first scenario occurs when the piecewise-smooth map preserves orientation. This scenario refers to the appearance of periodic orbits whose symbolic sequences and rotation numbers follow a Farey tree structure; the periods of the periodic orbits are given by consecutive addition. The second scenario occurs when the piecewise-smooth map preserves orientation only in one domain. In this case, symbolic sequences are obtained by consecutive attachment of a given symbolic block and the periods of periodic orbits are incremented by a constant term. These scenarios have been widely observed in the literature by the non-smooth community when numerically investigating piecewise-smooth discontinuous maps. In this review we assemble and extend classical results for circle maps to discontinuous circle maps and apply them to provide rigorous and complete proofs.

研究の動機と目的

• 1次元の区分的滑らかでない写像における周期追加および周期増加分岐のシナリオが発生する条件を特定し、形式化すること。
• 連続的な円写像理論を不連続な写像に拡張し、観察された分岐パターンの厳密な基礎を提供すること。
• 非滑らか力学系における周期軌道の系列に関する既存の数値的観察を統合・一般化すること。
• 区分的滑らかでない設定における特定の記号列および回転数を有する周期軌道の出現について、完全かつ厳密な証明を提供すること。
• 実世界のシステムへの適用可能性を、具体的な例を通じて示すこと。

提案手法

• 写像が全体として向きを保存する場合の周期追加分岐の十分条件の導出。
• 向きが1つの定義域でのみ保存される場合の周期増加分岐の分析。これにより、ブロック接続によって形成される記号列が得られる。
• 周期追加シナリオにおける周期軌道の記号列および回転数を記述するためにファレイ木構造の応用。
• 記号的力学および回転数理論を用いて、不連続写像における周期軌道の系列を特徴づける。
• 連続的な円写像に関する古典的結果を、不連続で区分的滑らかでない写像へと、厳密な位相的および組み合わせ的議論を用いて拡張する。
• 記号列の構造および不連続点における写像の挙動に基づく証明の構築。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区分的滑らかでない1次元写像において、周期追加分岐のシナリオが発生する条件は何か？
• RQ2 周期追加シナリオにおいて、記号列および回転数はどのように変化するのか。ファレイ木構造はどのような役割を果たすのか？
• RQ3 向きが1つの定義域でのみ保存される場合の周期増加分岐の十分条件は何か？
• RQ4 ブロック接続機構は、2番目のシナリオにおいてどのようにして周期が増加した周期軌道を生成するのか？
• RQ5 古典的円写像理論は、不連続な区分的滑らかでない写像へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 周期追加分岐は、写像が全体として向きを保存する場合に発生し、その周期軌道の記号列はファレイ木構造に従う。
• 周期追加シナリオでは、周期軌道の周期は連続的加算により生成され、ファレイ数列における以前の周期の和に対応する。
• 周期増加分岐は、向きが1つの定義域でのみ保存される場合に生じ、固定された記号ブロックの繰り返しによる接続によって形成される記号列が得られる。
• 周期増加シナリオでは、周期軌道の周期は定数項によって増加し、軌道系列における線形増加のパターンを反映する。
• 理論的枠組みは、連続的な円写像からの古典的結果を、不連続で区分的滑らかでない写像へと厳密に一般化している。
• 導出された条件は、非滑らか力学系の実世界への応用における周期軌道系列の予測および分析のための完全かつ体系的な手法を提供する。