[論文レビュー] Period map for non-compact holomorphically symplectic manifolds

D. Kaledin, Misha Verbitsky|ArXiv.org|May 1, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、弱いコhomological仮定の下で、非コンパクトな全ホロモルフィックシンプレクティック多様体に対して周期写像を確立する。形式的シンプレクティック変形の粗いモジュライ空間が、シンプレクティック形式の類における $ H^2(M) $ の形式的完成と同型であることを示している。主な結果は、ランの代数的変形理論のシンプレクティック版を用いて、ある層複体の平坦性により障害の消失を示すことで、ボゴモロフ＝ティアン＝トドロフ定理を非コンパクトなシンプレクティック多様体へ拡張する。

ABSTRACT

We study the deformations of a holomorphic symplectic manifold $M$, not necessarily compact, over a formal ring. We show (under some additional, but mild, assumptions on $M$) that the coarse deformation space exists and is smooth, finite-dimensional and naturally embedded into $H^2(M)$. For a holomorphic symplectic manifold $M$ which satisfies $H^1(M,{\cal O}_M) = H^2(M,{\cal O}_M)=0$, the coarse moduli of formal deformations is isomorphic to $\Spec\C[[t_1, ..., t_n]]$, where $t_1$, ... $t_n$ are coordinates in $H^2(M)$. This revised version contains one minor improvement: exposition in Subsection 5.1 has been made more detailed and rigourous.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな全ホロモルフィックシンプレクティック多様体のための変形理論を構築すること。標準的手法が非退化なドルベオー・スペクトル系列のため失敗するため。
• 従来、コンパクトなカラビ＝ヤウ多様体および全ホロモルフィックシンプレクティック多様体にのみ有効であった周期写像の構成を、弱いコhomological仮定の下で非コンパクトな設定へ拡張すること。
• 形式的シンプレクティック変形の粗いモジュライ空間が、$[Ω]$ の近傍における $ H^2(M) $ の形式的完成と同型であることを示すこと。コンパクトな場合の一般化。
• 変形理論における障害を克服するため、$ M $ そのものではなく、対 $ (M, \Omega) $ の変形に注目し、シンプレクティック構造を用いてコホモロジカルフレームワークを単純化すること。

提案手法

• Z. ランによるティアン＝トドロフ定理の代数的証明のシンプレクティック版を採用し、カルビ＝ヤウ条件の代わりに全ホロモルフィックシンプレクティック構造を用いる。
• 変形を分類するためにコーディア＝スペンサー類を用いるが、シンプレクティック変形に制限することで障害を排除する。
• 環の基本的拡張を用いて帰納的に変形を上げる。微分の完全系列を用いて、上げの条件を制御する。
• 周期写像 $ \operatorname{Per}: \operatorname{Spl}(M,\Omega) \to H^2(M) $ を定義し、$ H^i(\mathcal{O}_M) = 0 $（$ i \geq 1 $）の仮定の下で、これが $[\Omega]$ の近傍への同型であることを示す。
• 変形過程における障害の不在を保証するため、層 $ R^2\pi_*F^1\Omega^{\bullet}(\widetilde{X}/S) $ の平坦性を証明する。
• オペラッド的変形理論の枠組みを用いて、シンプレクティック接空間複体を $ F^1\Omega^{\bullet}(X) $ と解釈し、コホモロジーの単純化を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな場合と同様に、非コンパクトな全ホロモルフィックシンプレクティック多様体に対して周期写像を構成できるか？
• RQ2 形式的シンプレクティック変形の粗いモジュライ空間が存在し、滑らかでかつ有限次元になる条件は何か？
• RQ3 ドルベオー・スペクトル系列が非退化でない場合でも、全ホロモルフィックシンプレクティック多様体の変形理論における障害がなぜ消えるのか？
• RQ4 非コンパクトな設定において、周期写像はコホモロジー $ H^2(M) $ とどのように関係するか？
• RQ5 ランの代数的変形理論を、$ M $ そのものではなく対 $ (M, \Omega) $ に注目することで、シンプレクティックの場合に適応可能か？

主な発見

• 全ホロモルフィックシンプレクティック多様体 $ M $ がすべての $ i \geq 1 $ に対して $ H^i(\mathcal{O}_M) = 0 $ を満たすとき、形式的シンプレクティック変形の粗いモジュライ空間 $ \operatorname{Spl}(M,\Omega) $ は、$[\Omega]$ の近傍における $ H^2(M) $ の形式的完成と同型である。
• この場合、周期写像 $ \operatorname{Per}: \operatorname{Spl}(M,\Omega) \to H^2(M) $ は同型であり、コンパクトな場合の結果を一般化する。
• 変形理論は障害なしに保たれる。なぜなら、層 $ R^2\pi_*F^1\Omega^{\bullet}(\widetilde{X}/S) $ が底空間上平坦であるため、各段階での持ち上げが保証されるからである。
• 主な技術的革新は、基本的拡張の使用と、微分完全系列を通じたコーディア＝スペンサー類の持ち上げであり、循環的依存を回避する。
• 仮定 $ H^i(\mathcal{O}_M) = 0 $ の下では、より広い非コンパクト多様体のクラスに対しても結果が成り立つ。この場合、周期写像は $ H^2(M) $ への埋め込みのままであるが、モジュライ空間は $ H^2(M) $ と同型ではない。
• シンプレクティック構造のおかげで、カルビ＝ヤウ理論における問題のある項 $ H^1(\Omega^{n-1}(M)) $ を、仮定のもとで障害が消える $ H^1(\Omega^1(M)) $ に置き換えることができる。