[論文レビュー] Period map of a certain K3 family with an S5-action

Kenji Hashimoto, Tomohide Terasoma|ArXiv.org|Apr 1, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、モジュラー埋入を介して genus 2 テータ定数を引き戻すことにより、S₅作用をもつ1パラメータ族の四次K3表面に対して明示的な逆周期写像を構成する。主な結果は、この族のパラメータをそれらの自己形式で閉形式で表す式であり、楕円曲線のHasse族に対する古典的テータ定数公式の一般化である。

ABSTRACT

In this paper, we study the period map of a certain one-parameter family of quartic K3 surfaces with an S5-action. We construct automorphic forms on the period domain as the pull-backs of theta constants of genus 2 by a modular embedding. Using these automorphic forms, we give an explicit presentation of the inverse period map.

研究の動機と目的

• P⁴における対称的四次方程式で定義される、S₅作用をもつ1パラメータ族の四次K3表面の周期写像を研究すること。
• モジュラー埋入を介して、genus 2 テータ定数の引き戻しとして周期領域上の自己形式を構成すること。
• これらの自己形式を用いて逆周期写像の明示的表現を与えること。
• 楕円曲線のHasse族に対する古典的テータ定数公式をK3表面の設定へ一般化すること。

提案手法

• 族はP⁴における方程式 x₁⁴ + ⋯ + x₅⁴ - t₀(x₁ + ⋯ + x₅) + t₁(x₁² + ⋯ + x₅²)² = 0 で定義され、t = (t₀:t₁) ∈ P¹ である。
• 対称群S₅は座標x₁,…,x₅の置換により作用し、交代群A₅は各表面上でシンプレクティックに作用する。
• 自己形式は、周期領域へのモジュラー埋入を介して、genus 2 テータ定数の引き戻しとして構成される。
• 逆周期写像は、パラメータtをこれらの自己形式の比を用いて明示的に与える。
• この手法は、関連する算術群によるテータ定数のモジュラー性および変換性に依拠する。
• 周期領域内のCM点におけるテータ定数の特別な値を用いて、パラメータtの明示的代数的表現が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S₅作用をもつ1パラメータ族のK3表面に対して、逆周期写像をどのように明示的に構成できるか。
• RQ2 genus 2 テータ定数は、このK3族の周期領域をパrametrizeする上で果たす役割は何か。
• RQ3 テータ定数から生じる自己形式は、族のパラメータtをどのように再構成するか。
• RQ4 この構成は、楕円曲線のHasse族に対する古典的テータ定数公式をどの程度一般化するか。
• RQ5 K3族の不変量と、周期領域におけるCM点でのテータ定数の値との間の代数的関係は何か。

主な発見

• 逆周期写像は、特定の特性をもつgenus 2 テータ定数の4乗比を用いてパラメータtを明示的に与える。
• 周期領域内のCM点τ₆, τ₇, τ₈において、テータ定数の比は対応するt値を回復する代数的表現を与える。
• τ₆において、比 θ(2τ₆,0,1/2,0,0)⁴ / θ(2τ₆,0,0,0,0)⁴ は -4(3√11 - 7√2)² に等しく、他の特性に対しても同様の式が得られる。
• τ₈において、比 θ(2τ₈,0,1/2,0,0)² / θ(2τ₈,0,0,0,0)² および θ(2τ₈,1/2,0,0,0)² / θ(2τ₈,0,0,0,0)² はそれぞれ (√5/2 - 1/2)³(1 + √-1) に等しく、複素乗法構造を示している。
• この族はS₅作用をもつ四次K3表面の中で最大であり、シンプレクティックなA₅作用はピカール数19または20をもち、1次元のモジュライ空間を意味する。
• この構成は、楕円曲線のHasse族に対する古典的テータ定数公式のK3版を提供し、高次元周期領域への理論の拡張を実現している。