[論文レビュー] Period relations for automorphic forms on unitary groups and critical values of $L$-functions

Lucio Guerberoff|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、CM体上のユニタリ群におけるコhomologicalな自己形式表現の標準的L関数の臨界値を、自動形式のホロモーフィック形式のペテルソンノルムに結びつける公式を確立する。この結びつきは、自動形式の2次周期とCM周期を通じてなされ、ハリスの結果を虚二次体から任意のCM体へ一般化する。デリーニの臨界値に関する予想は、これらの表現を比較し、倍加法（doubling method）および自己形式ベクルの微分作用素を用いることで証明される。

ABSTRACT

In this paper we explore some properties of periods attached to automorphic representations of unitary groups over CM fields and the critical values of their $L$-functions. We prove a formula expressing the critical values in the range of absolute convergence in terms of Petersson norms of holomorphic automorphic forms. On the other hand, we express the Deligne period of a related motive as a product of quadratic periods and compare the two expressions by means of Deligne's conjecture.

研究の動機と目的

• ユニタリ群の臨界L値に関するハリスの結果を、虚二次体から任意のCM体へ一般化すること。
• 絶対収束領域内の臨界値を、ホロモーフィック自動形式のペテルソンノルムで表すこと。
• モチーフ的解釈を用いてこれらのL値とデリーニ周期を関連づけ、デリーニの臨界値に関する予想を検証すること。
• タートの予想を用いて、自動形式の2次周期とモチーフ的周期の間の周期関係を確立すること。
• 2次周期の枠組みを高ランクユニタリ群および一般のCM体へ拡張し、p進L関数の構成を可能にすること。

提案手法

• 標準的L関数を、ホロモーフィック自動形式とアイゼンスタイン級数の積分として表現するため、倍加法を適用する。
• グローバルおよびローカルなピアテツキ＝シャピロ＝ラリスのゼータ積分を用い、L値を自動形式の内積と関連付ける。
• ハリス（1986）の自動形式ベクル上の微分作用素を用いて、ガロア閉包$L'$上のゼータ積分の有理性を保証する。
• 自動形式の2次周期$Q^{\text{hol}}(\tau)$を、表現$\pi$に属する算術的ホロモーフィックベクトルのペテルソンノルムとして定義する。
• CM体$L$の代数的ヘッケキャラクター$\psi$に関連するCM周期$P(\psi)$を導入する。
• タートの予想を用いて、モチーフのホッジ＝ド・ラーム構造と$\ell$-進実現を関連づけ、モチーフ的周期の比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CM体上のユニタリ群におけるコhomologicalな自動形式表現の標準的L関数の臨界値は、自動形式周期を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 モチーフのデリーニ周期と、ホロモーフィック形式から生じる自動形式の2次周期との間の明確な関係は何か？
• RQ3 デリーニの予想が予測する周期関係は、一般のCM体上のユニタリ群に対してどの程度成立するか？
• RQ4 自動形式の2次周期$Q^\text{hol}(\pi)$とCM周期$P(\psi)$は、どのようにして臨界L値を表現するか？
• RQ5 タートの予想とホッジ理論的構造を用いて、L値の公式のモチーフ的解釈を正当化できるか？

主な発見

• 臨界値$L^S(m - (n-1)/2, \pi \otimes \psi, \text{St})$は、$2\pi i$のべき、判別式因子$D_K^{\lfloor(n+1)/2\rfloor/2}$、CM周期$P(\psi)$、および自動形式2次周期$Q^\text{hol}(\pi)$の積として表され、$E(\pi) \otimes E(\psi) \otimes L'$内の代数的数を除いて一致する。
• 自動形式2次周期$Q^\text{hol}(\pi)$は、表現$\pi$に属する算術的ホロモーフィックベクトルのペテルソンノルムとして定義される。
• $n$が偶数の場合、$E \otimes K'$上でモチーフ的周期$\partial(M)$は予想的に自明になるため、デリーニの予想は$Q^\text{hol}(\pi) \sim_{E(\psi)EL'} Q^\text{s}(M)$の等式に帰着される。
• 奇数$n$の場合、モチーフ的周期$\delta(M)$は$D_K^{n/2} (2\pi i)^{-n(n-1)/2}$に等しいことが示され、再び$\partial(M) \sim 1$となり、デリーニの予想の弱い形が検証される。
• タートの予想のもと、周期関係$Q^\text{hol}(\pi) \sim_{E(\psi)EL'} \prod_{\tau \in \Phi} \prod_{j=1}^{s_\tau} Q_{j,\sigma}(M)$が成り立ち、自動形式周期とモチーフ的周期を結びつける。
• 結果は、ハリスの以前の研究を虚二次体から任意のCM体へ拡張し、p進L関数とモチーフ的特殊値のための枠組みを提供する。