[論文レビュー] Periodic 2-graphs arising from subshifts

David Pask, Iain Raeburn+1 more|ArXiv.org|Nov 4, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有限型の部分シフトから周期的2グラフを構成し、特に法qにおけるトレース条件によって定義されるシフト空間Ωと関連付ける。2グラフの青グラフは、トレースt mod qを持つ長さnのネックレスに対応する互いに素なサイクルの直和に分解され、Lyndon語による明示的数え上げがなされ、2グラフが混合的であるのに対し、シフトは非混合的であることが示されている。

ABSTRACT

Higher-rank graphs were introduced by Kumjian and Pask to provide models for higher-rank Cuntz-Krieger algebras. In a previous paper, we constructed 2-graphs whose path spaces are rank-two subshifts of finite type, and showed that this construction yields aperiodic 2-graphs whose $C^*$-algebras are simple and are not ordinary graph algebras. Here we show that the construction also gives a family of periodic 2-graphs which we call \emph{domino graphs}. We investigate the combinatorial structure of domino graphs, finding interesting points of contact with the existing combinatorial literature, and prove a structure theorem for the $C^*$-algebras of domino graphs.

研究の動機と目的

• 有限型部分シフトから生じる周期的2グラフの構造を特徴づけること。
• ドミノ2グラフΛ(n,q,t)の骨格を赤と青のグラフの観点から記述すること。
• 2グラフにおける各長さd（nの約数）の青サイクルの数を特定すること。
• 関連するシフト空間Ωのダイナミカルな性質、特にその非混合的性質を分析すること。
• 2グラフの構成を、g_T(u1,u2) = 1 + u1 + ⋯ + u1^{n−1} であるサイクロトーム多項式gを用いたモデルRq²/(g)と関連付けること。

提案手法

• 赤グラフRΛは完全有向グラフK_{q^n - 1}として特定され、すべてのu,v ∈ Λ⁰に対して|vΛe²u| = 1が成り立つことを保証する。
• 頂点集合Λ⁰は、Z/qZ上での長さnの単語でトレースがt mod qであるものの集合Antに一対一対応することが示された。
• 青グラフBΛは、長さがnの約数であるサイクルの直和として構成される。
• 長さdの青サイクルの数は、d⁻¹sn ≡ t mod qを満たすs ∈ Z/qZに対する和として計算され、重みはq文字のアルファベット上での長さdのLyndon語の数L_q(d,s)である。
• この構成は、[PRW]の定理3.4と命題3.5に依拠し、基数と連結性の性質を確立する。
• シフト空間Ωは、すべてのl ∈ Z²に対して∑_{i∈T} f|_{T+l}(i) ≡ 0 mod qを満たす条件によって定義され、その非混合的性質は[Schmidt]の定理6.5(2)から導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドミノ2グラフΛ(n,q,t)の骨格、特に赤と青のグラフはどのように構造づけられるか？
• RQ2 nの各約数dについて、2グラフΛ(n,q,t)における長さdの青サイクルの数は何か？
• RQ3 トレース条件によって定義されるシフト空間Ωは、2グラフΛ(n,q,t)とどのように関係するか？
• RQ4 2グラフが[PRW, §5–6]で混合的部分シフトと関連しているにもかかわらず、なぜシフトΩは非混合的なのか？
• RQ5 Lyndon語は、2グラフにおける青サイクルの数え上げにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• 赤グラフRΛは完全有向グラフK_{q^n - 1}であるため、すべてのu,v ∈ Λ⁰に対して|vΛe²u| = 1が成り立つ。
• 頂点集合Λ⁰は、Z/qZ上での長さnの単語でトレースがt mod qであるものの集合Antに一対一対応する。
• 青グラフBΛは、長さがnの約数である互いに素なサイクルの直和であり、これらはトレースt mod qを持つ長さnのネックレスに対応する。
• 長さdの青サイクルの数h_dは、h_d = ∑_{s∈Z/qZ, d⁻¹sn≡t mod q} L_q(d,s) で与えられ、ここでL_q(d,s)はq文字のアルファベット上での長さdのLyndon語の数である。
• シフト空間Ωは、[Schmidt]の定理6.5(2)によって示されるように非混合的であるが、2グラフは以前の研究で混合的部分シフトから導出されている。
• シフトΩは、g = g_T(u1,u2) = 1 + u1 + ⋯ + u1^{n−1} であるサイクロトーム多項式gを用いたモデルR_q²/(g)に対応する。