[論文レビュー] Periodic and falling-free motion of an inverted spherical pendulum with a moving pivot point

Ivan Polekhin|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、可動なピボット点と粘性摩擦を有する逆転球形振り子に対して、固定点理論をWażewski型の位相的枠組みに適用することにより、常に水平面より上に保たれる（「転倒しない」）周期的で落下を伴わない解の存在を証明する。摩擦がどれほど小さくても、この解はすべての時間において厳密に水平面の上に存在する。

ABSTRACT

For the system of an inverted spherical pendulum with friction and a periodically moving pivot point we prove the existence of at least one periodic solution with the additional property of being falling-free. The last means that the pendulum never becomes horizontal along the considered periodic solution. Presented proof is an application of some recent results in the fixed point theory.

研究の動機と目的

• 周期的に動くピボット点を有する逆転球形振り子における周期的解の存在を確立すること。
• このような周期的解が常に水平面より上に保たれること（すなわち「転倒しない」こと）を証明すること。
• 古典的なCourant-Robbins問題を3次元の球形振り子に拡張すること。
• 最近の固定点理論の結果を制約を伴う非-autonomous力学系に適用すること。
• 摩擦がどれほど小さくても、安定で転倒を伴わない周期的運動が存在することを示すこと。

提案手法

• ピボット点が周期的に水平方向に運動する移動座標系において、振り子の運動を定式化する。
• ニュートン力学を用いて重力、摩擦、制約力の寄与を含めた運動方程式を導出する。
• エネルギー関数 $ F = \frac{m}{2}|\dot{r}_{\text{moving}}|^2 $ を導入し、エネルギーの散逸を分析する。
• 補題2.3を適用して、$ F = c $ が十分に大きい場合、エネルギー関数 $ F $ が局所的に減少することを示す。
• 補題2.4を用いて、振り子が水平で垂直速度がゼロの状態にある場合、下方に加速することが保証され、$ z=0 $ が出口境界であることが示される。
• 周期的Ważewskiブロック $ W \subset \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \times T S^2 $ を $ F \leq c $、$ z \geq 0 $ により定義し、非ゼロのLefschetz指標を持つ周期的セグメントである条件を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的に動くピボット点と粘性摩擦を有する逆転球形振り子に対して、周期的解が存在するか？
• RQ2 このような周期的解が、すべての時間において水平にならず（すなわち「転倒しない」）、常に上向きを保つことができるか？
• RQ3 摩擦がどれほど小さくても、このような解の存在は安定的か？
• RQ4 位相的固定点理論を用いて、制約を伴う力学系における非自明な周期的運動の存在を証明できるか？
• RQ5 どのような位相的条件が、水平面を避ける周期的解の存在を保証するか？

主な発見

• 任意の $ \gamma > 0 $ に対して、可動ピボット点を有する逆転球形振り子系に周期的解 $ r_{\text{moving}}(t) $ が存在する。
• この周期的解は、すべての $ t $ に対して $ (r_{\text{moving}}(t), e_z) > 0 $ を満たし、振り子が水平にならないことを意味する。
• 粘性摩擦係数 $ \gamma $ がどれほど小さくても、解の存在が保証される。
• 証明は、非ゼロのLefschetz指標 $ \Lambda(\text{id}_{W_0}) - \Lambda(\text{id}_{W_0^{--}}) = 1 - 0 = 1 \neq 0 $ を持つWażewskiブロック $ W $ を構成することに依拠する。
• 本質的出口集合 $ W^{--} $ は境界 $ z = 0 $ に対応し、$ \dot{z} \leq 0 $ のときのみ解がこの集合を通じて外部へ脱出可能であるため、転倒しない性質が保証される。
• モノドロミー写像 $ m $ は恒等写像であり、トポロジカル不変量 $ \mu_W = H(m) $ は非ゼロの固定点指標をもたらし、Poincaré写像における固定点の存在を保証する。これにより周期的解の存在が得られる。