[論文レビュー] Periodic and limit-periodic discrete Schrödinger operators

Helge Krueger|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}^d$ 上の離散的周期的および極限周期的シュレーディンガー作用素のスペクトル理論を発展させ、$d \geq 2$ に対してフロケ＝ブロッホ分解を確立する。$d=2$ において周期が互いに素の場合、小さな摂動はギャップを開かない（ベーテ＝ゾンマーフェルト型の結果）が、偶数周期の場合は小さなポテンシャルのもとで1つのギャップが開くことがある。本稿の核心は、小さな compact な台を持つ摂動を繰り返し用いることでバンドの重なりを制御し、純粋に連続スペクトルからなる単一の区間をなす極限周期的ポテンシャルを構成することにある。

ABSTRACT

The theory of discrete periodic and limit-periodic Schrödinger operators is developed. In particular, the Floquet--Bloch decomposition is discussed. Furthermore, it is shown that an arbitrarily small potential can add a gap for even periods. In dimension two, it is shown that for coprime periods small potential terms don't add gaps thus proving a Bethe--Sommerfeld type statement. Furthermore limit-periodic potentials whose spectrum is an interval are constructed.

研究の動機と目的

• $d \geq 2$ における離散的周期的シュレーディンガー作用素の包括的なスペクトル理論を構築すること。$d=1$ や連続空間における研究は既に存在するが、$\mathbb{Z}^d$ 上での $d \geq 2$ の場合にその分野には空白が存在する。
• 特に周期が互いに素である2次元において、周期的ポテンシャルの小さな摂動がスペクトルギャップを生成しない条件を確立すること。
• スペクトルが単一の区間であるような、広範な極限周期的ポテンシャルのクラスを構成し、そのスペクトルが純粋に絶対連続であることを示すこと。

提案手法

• 準運動量をパrameterとする、フロケ＝ブロッホ分解を用いて、$\mathbb{Z}^d$ 上の周期的シュレーディンガー作用素のスペクトルを分析し、有限次元固有値問題の族に帰着する。
• ブリユアンゾーン $\mathbb{B} = \times_{j=1}^d \{0, \frac{1}{p_j}, \dots, \frac{p_j-1}{p_j}\}$ 上でのフーリエ解析を用いて、周期的ポテンシャルを表現し、運動量空間における行列値問題にシュレーディンガー方程式を変換する。
• 定理5.1（任意のエネルギーは、フロケ＝ブロッホ分解に含まれる作用素のうち、高々有限個のものに対して、重複度2以上の固有値である）を適用し、退化の制御とバンド内部の保証を行う。
• 反復的構成法を用いる：各 $t$ に対して、$(p^t, q^t)$-周期的ポテンシャルのコンパクト集合 $\mathcal{V}_t$ を定義し、$\|V_t\|_\infty \leq \delta_t$ を満たすようにする。これにより、スケール $t$ でバンドが重なっていれば、スケール $t+1$ でも重なりが保たれる。
• 定理3.8（小さな摂動下でもバンド重なりが安定する）と補題3.10（コンパクト集合上で一様な重なり制御が可能）を用いて、スケールを逐次的に進めながらバンド重なりを伝搬する。
• 全ポテンシャルを $\sum_{t=1}^\infty V_t$ と定義し、$\sum \delta_t < \infty$ を満たすようにする。これにより、解の作用素の収束とスペクトルの安定性から、極限作用素のスペクトルが単一の区間になることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{Z}^2$-周期的シュレーディンガー作用素の周期が互いに素である場合、小さな摂動が新たなスペクトルギャップを生じさせるか？
• RQ2 任意に小さな偶数周期ポテンシャルは、離散的シュレーディンガー作用素のスペクトルに正確に1つのギャップを開くことができるか？
• RQ3 $\mathbb{Z}^d$ 上に、関連するシュレーディンガー作用素のスペクトルが単一の区間であるような極限周期的ポテンシャルが存在するか？
• RQ4 周期的ポテンシャルの系列にどのような条件を課すと、その和のスペクトルが区間になるか？
• RQ5 $d \geq 2$ における周期的作用素のスペクトル構造は、1次元の場合と比べてどのように異なるか、特にギャップ形成の観点から。

主な発見

• $d=2$ において周期が互いに素であれば、小さな摂動は新たなスペクトルギャップを生成しない。これは、ベーテ＝ゾンマーフェルト予想の離散的アナロジーを証明する。
• 任意の次元において、任意に小さな偶数周期ポテンシャルが、離散的シュレーディンガー作用素のスペクトルに正確に1つのギャップを開く例が存在する。
• すべての $t$ に対して $\|V_t\|_\infty \leq \delta_t$ を満たす $(p^t, q^t)$-周期的ポテンシャル $V_t$ の系列について、$\sum_{t=1}^\infty \delta_t < \infty$ となるような $\delta_t > 0$ の列が存在し、$\Delta + \sum_{t=1}^\infty V_t$ のスペクトルが単一の区間であることを保証する。
• 構成法の根幹は、バンド重なりの反復的制御にある。スケール $t$ でバンドが重なっていれば、十分に小さな摂動のもとでスケール $t+1$ でも重なりが保たれる。
• 極限周期的作用素のスペクトルは、純粋に絶対連続であり、単一の区間をなす。ただし、本稿ではKAM型の手法による絶対連続性の確立は行われていない。
• この方法により、有限切断 $\Delta + \sum_{t=1}^T V_t$ のスペクトルがすべての $T$ に対して区間であり、一様収束により、全作用素のスペクトルも区間であることが保証される。