[論文レビュー] Periodic complementary sets of binary sequences

Dragomir Ž. Ðoković|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、周期的補完的二値系列の集合（PCS_N^p）の未解決ケースの数を26からたった1つに削減した。具体的には、PCS_48の存在が未解決のままである。新しい循環差分族の構築により、これまで未知であった周期的二値系列の集合が得られ、p ≤ 12およびN ≤ 50の範囲におけるこのような系列の分類が著しく進展した。

ABSTRACT

Let PCS N p denote a set of p binary sequences of length N such that the sum of their periodic auto-correlation functions is a δ-function. In the 1990, Bömer and Antweiler addressed the problem of constructing PCS N p. They presented a table covering the range p ≤ 12, N ≤ 50 and showing in which cases it was known at that time whether PCS N p exist, do not exist, or the question of existence is undecided. The number of undecided cases was rather large. Subsequently the number of undecided cases was reduced to 26 by the author. In the present note, several cyclic difference families are constructed and used to obtain new sets of periodic binary sequences. Thereby the number of undecided cases is reduced to just one, namely PCS 48

研究の動機と目的

• p ≤ 12およびN ≤ 50の範囲で、周期的補完的二値系列（PCS_N^p）の存在に関する未解決事項を解消すること。
• BömerとAntweilerの1990年のサーベイ以降、未解決のまま残っていたPCS_N^pの存在ケースの数を削減すること。
• 理想の周期的自己相関特性を持つ周期的二値系列を生成する新しい循環差分族を構築すること。
• δ関数の和をとる周期的自己相関関数を有する二値系列の分類に貢献すること。

提案手法

• 組合せデザイン技法を用いて新しい循環差分族を構築する。
• 循環差分族の性質を活用して、補完的自己相関を持つ周期的二値系列を生成する。
• 差分族と周期的補完的集合（PCS_N^p）を結ぶ理論的枠組みを適用する。
• 構築された系列の周期的自己相関関数の和がδ関数を形成することを検証する。
• 新しい構築法を用いて、パラメータ空間全域でPCS_N^pの存在条件を体系的にテストする。
• 新しい構築法に基づき、以前未解決だったケースを存在表から削除して更新する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p ≤ 12およびN ≤ 50の範囲で、周期的自己相関関数の和がδ関数に等しい周期的補完的二値系列集合（PCS_N^p）が存在するNおよびpの値は何か？
• RQ2 以前未知の周期的二値系列集合を生成する新しい循環差分族を構築できるか？
• RQ3 新しい構築法を適用した後、PCS_N^pの未解決存在ケースの最小数は何か？
• RQ4 周期的補完的集合の構築法の進展にもかかわらず、PCS_48の存在が未解決のまま残っているか？

主な発見

• 周期的補完的二値系列集合（PCS_N^p）の存在に関する未解決ケースの数が、26からたった1つに削減された。
• 未解決ケースは今やPCS_48に限定されており、p ≤ 12およびN ≤ 50の範囲では、他のすべてのケースは存在が確認されたか、存在しないことが証明されたことを示している。
• 新しい循環差分族が成功裏に構築され、理想の周期的自己相関特性を持つ周期的二値系列の生成に使用された。
• 構築法により、存在が以前は不確かだった系列についても明示的な構築が可能になったため、未解決ケースが効果的に排除された。
• 結果として、循環差分族が周期的補完的二値系列集合を生成するための有効なツールであることが確認された。
• 存在表の最終的な状態は、PCS_48の1つの未解決ケースのみを含むことになった。