[論文レビュー] Periodic continued fractions over $S$-integers in number fields and Skolem's $p$-adic method

Bradley W. Brock, Noam D. Elkies+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、整数から数体におけるS整数へ周期的連分数（PCF）を一般化し、数体の整数環上に定義されたPCF多様体V(B)N,kを導入する。行列力学と連続多項式を用いて、収束の判定とSkolemのp進法による極限の計算を可能とするアルゴリズムを提供する。特にZ[√2]-拡張に対して顕著に有効である。主な結果は、Z[√2]上でのα₂ = √(2+√2)に対する型(0,3)、(1,2)、(2,1)のPCFの完全分類であり、Ljunggrenの方程式と2進的技法を用いて、16個および20個のすべてのPCFを明示的に同定し、有限性を証明した。

ABSTRACT

We generalize the classical theory of periodic continued fractions (PCFs) over ${\mathbf Z}$ to rings ${\mathcal O}$ of $S$-integers in a number field. Let ${\mathcal B}=\{\beta, {\beta^*}\}$ be the multi-set of roots of a quadratic polynomial in ${\mathcal O}[x]$. We show that PCFs $P=[b_1,\ldots,b_N,\bar{a_1\ldots ,a_k}]$ of type $(N,k)$ potentially converging to a limit in ${\mathcal B}$ are given by ${\mathcal O}$-points on an affine variety $V:=V({\mathcal B})_{N,k}$ generically of dimension $N+k-2$. We give the equations of $V$ in terms of the continuant polynomials of Wallis and Euler. The integral points $V({\mathcal O})$ are related to writing matrices in $ extrm{SL}_2({\mathcal O})$ as products of elementary matrices. We give an algorithm to determine if a PCF converges and, if so, to compute its limit. Our standard example generalizes the PCF $\sqrt{2}=[1,\bar{2}]$ to the ${\mathbf Z}_2$-extension of ${\mathbf Q}$: $F_n={\mathbf Q}(\alpha_n)$, $\alpha_{n}:=2\cos(2\pi/2^{n+2})$, with integers ${\mathcal O}_n={\mathbf Z}[\alpha_n]$. We want to find the PCFs of $\alpha_{n+1}$ over ${\mathcal O}_{n}$ of type $(N,k)$ by finding the ${\mathcal O}_{n}$-points on $V({\mathcal B}_{n+1})_{N,k}$ for ${\mathcal B}_{n+1}:=\{\alpha_{n+1}, -\alpha_{n+1}\}$. There are three types $(N,k)=(0,3), (1,2), (2,1)$ such that the associated PCF variety $V({\mathcal B})_{N,k}$ is a curve; we analyze these curves. For generic ${\mathcal B}$, Siegel's theorem implies that each of these three $V({\mathcal B})_{N,k}({\mathcal O})$ is finite. We find all the ${\mathcal O}_n$-points on these PCF curves $V({\mathcal B}_{n+1})_{N,k}$ for $n=0,1$. When $n=1$ we make extensive use of Skolem's $p$-adic method for $p=2$, including its application to Ljunggren's equation $x^2 + 1 =2y^4$.

研究の動機と目的

• 整数環Zから数体におけるS整数環への周期的連分数（PCF）の古典的理論を拡張すること。
• O-PCFが二次多項式の根に収束する型(N,k)をパラメトライズするPCF多様体V(B)N,kを定義・研究すること。
• 行列力学と代数的基準を用いて、O-PCFの収束の判定と極限の計算を可能とするアルゴリズムを開発すること。
• 問題1.1の解決：O_n = Z[α_n] 上でα_{n+1} = 2cos(2π/2^{n+2}) であるとき、型(N,k)のすべてのO_n-PCFを特定すること。特にn=0,1の場合に焦点を当てる。
• Skolemのp進法とSiegelの定理を用いて、 genus ≥1 のPCF曲線上のO-点の有限性を証明し、明示的にすべての整数点を計算すること。

提案手法

• WallisとEulerの連続多項式を用いて、O-PCFの型(N,k)をパラメトライズするPCF多様体V(B)N,kを、アフィン多様体として定義する。
• 行列力学の応用：連分数[b₁,…,bₙ,a₁,…,aₖ]はSL₂(O)内の基本行列の積に対応し、極限は関連行列E(P)によって定まる。
• 周期的部分のトレースと行列成分に基づくアルゴリズムを用いて、行列反復理論の基準を適用し、収束を定式化する。
• 特に(N,k) = (0,3), (1,2), (2,1)のケースに対して、p=2におけるSkolemのp進法を用いてPCF曲線上のディオファントス方程式を解く。
• Ljunggrenの方程式x² + 1 = 2y⁴を、PCF曲線から生じる2進方程式を解くための主要な道具として用いる。
• Siegelの定理を用いて、genus ≥1 のPCF曲線上のO-点の有限性を証明し、合同式と被覆技法を用いて、Skolemの方法が直接適用できない場合のケースを削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの(N,k)に対してPCF多様体V(B)N,kが曲線となり、数体におけるS整数環上でのその幾何学的・算術的構造は何か？
• RQ2 与えられた型(N,k)のO-PCFが収束するかどうかをアルゴリズム的に判定でき、もしそうならば、定義する二次方程式のどの根に収束するか？
• RQ3 O_n = Z[α_n] 上でα_{n+1} = 2cos(2π/2^{n+2}) であるとき、型(N,k)のすべてのO_n-PCFは何か？特にn=0およびn=1の場合に焦点を当てる。
• RQ4 Skolemのp進法は、数体上のPCF曲線上のディオファントス方程式に対して効果的に適用可能か？また、Ljunggrenの方程式とはどのように作用するか？
• RQ5 PCF多様体V(B)N,k上のO-点は有限か？もし曲線のgenus ≥1であれば、それらを明示的に計算できるか？

主な発見

• QのZ[√2]-拡張において、PCF多様体V(2+√2)₀,₃はちょうど16個のZ[√2]-点を持ち、それらはα₂ = √(2+√2)に対する型(0,3)の8つの異なるPCFに対応する。
• 多様体V(2+√2)₁,₂はちょうど20個のZ[√2]-点を持ち、それらはα₂に対する型(1,2)の10個の異なるPCFに対応し、それ以外には存在しない。
• 多様体V(2+√2)₂,₁はZ[√2]上では空集合であることが、単純な合同式の議論により証明され、したがってα₂に対する型(2,1)のPCFは存在しない。
• PCF [57−39√2, 239+169√2, −733+52√2] に現れる239 + 169√2は、Ljunggrenの方程式x²+1=2y⁴がV(2+√2)₀,₃の解法において果たす役割を裏付ける。
• Skolemのp進法は、Z[√2]上でのV(2+√2)₀,₃およびV(2+√2)₁,₂に成功裏に適用可能であり、後者は被覆議論を用いて解ける方程式に還元された。
• 一般のBに対して、Siegelの定理によりPCF曲線V(B)N,k上のO-点は有限であり、Z[√2]-拡張のケースにおいてそれが明示的に実現されている。