[論文レビュー] Periodic functions with variable period

M. V Pryjmak|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Meromorphic and Entire Functions被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、周期が変化する関数を扱う数学的枠組みを提示し、古典的な三角関数系を一般化する。関数を定義し、得られる三角関数系の直交性を証明し、存在条件を満たす一般化された系を提案することで、非一様な周期性への調和解析の拡張を実現する。

ABSTRACT

The examples of rhythmical signals with variable period are considered. The definition of periodic function with the variable period is given as a model of such signals. The examples of such functions are given and their variable periods are written in the explicit form. The system of trigonometric functions with the variable period is considered and its orthogonality is proved. The generalized system of trigonometric functions with the variable period is also suggested; some conditions of its existence are considered.

研究の動機と目的

• 生物的または機械的振動などの非一様な周期性を示す現実世界のリズミカルな信号をモデル化すること。
• 定数周期の仮定を越えて、周期が変化する関数の明確な定式化を図ること。
• 周期が変化する関数に基づく三角関数系を確立し、その直交性を証明すること。
• 周期が変化する関数に基づく一般化された三角関数系を提案し、その存在に必要な条件を特定すること。
• 数学的に整合性のある枠組みを通じて、非定常な周期的現象への古典的調和解析の拡張を図ること。

提案手法

• 周期が時間とともに変化する関数を、f(t + T(t)) = f(t) を満たす関数T(t)を用いて定義する。
• 時間に依存する周波数に一致するように、cos(2π∫₀ᵗ dt/T(s)) および sin(2π∫₀ᵗ dt/T(s)) の形をとる関数を用いて三角関数系を構築する。
• 異なる基底関数の内積が消えることを示すことにより、与えられた区間におけるこの系の直交性を証明する。
• 周期が変化する状況において、任意の位相および振幅変調を含む基底関数への拡張を通じて、一般化された系を導入する。
• 一般化された系の存在条件を分析し、周期関数T(t)の可積分性および正則性に注目する。
• 関数解析的手法を用いて、指定された制約下で系の完全性および正規直交性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的に変化する周期を持つ周期関数を、現実世界の信号をモデル化するために正式に定義するにはどうすればよいか？
• RQ2 周期が一定でない場合に、三角関数の直交性が保たれるための条件は何か？
• RQ3 周期が変化する関数に基づく一般化された三角関数系を構築可能か？ その数学的条件は何か？
• RQ4 周期の変動が、信号の調和成分への分解にどのように影響するか？
• RQ5 非定常系におけるフーリエ型解析に、周期の変動が及える影響は何か？

主な発見

• 本稿では、f(t + T(t)) = f(t) を満たす時間依存周期関数T(t)を用いて、周期が変化する関数を明確に定義した。
• ∫₀ᵗ dt/T(s) を基にした三角関数系は、有限区間において直交性が証明され、標準的なフーリエ基底の一般化を実現した。
• 周期が変化する関数に基づく一般化された三角関数系を提案し、その存在条件をT(t)の可積分性および滑らかさに基づいて導出した。
• 内積の直接計算を通じて、この系の直交性が確立され、交差項が消えることが示された。
• この枠組みにより、基本周波数が時間とともに変化する場合でも、信号を調和成分に分解することが可能となった。
• 結果として得られた枠組みは、生物学的リズムや非定常信号に応用可能な、非一様周期的系における調和解析の基盤を提供する。