[論文レビュー] Periodic nonlinear Schrödinger equation with application to photonic crystals

А. А. Панков|ArXiv.org|Apr 25, 2004

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 25被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、臨界的でない、非線形性が超線形である条件下で、周期的非線形シュレーディンガー方程式に対して、非自明で指数的に減衰する解の存在を確立する。これらの結果を応用して、スペクトルギャップの存在下で、局在的で伝搬するか静止する光波としてのギャップソリトンの存在を証明する。特に、自己焦点化または自己拡散媒質における禁止周波数領域において、このような解が出現することを示す。

ABSTRACT

We present basic results, known and new, on nontrivial solutions of periodic stationary nonlinear Schrödinger equations. We also sketch an application to nonlinear optics and discuss some open problems.

研究の動機と目的

• 周期的定常非線形シュレーディンガー方程式に対して、無限遠で消える非自明な解の存在定理を確立すること。
• 線形作用素 $-\Delta + V$ がゼロを含む有限のスペクトルギャップを持つ場合に、一般化されたリンク定理や周期的近似法を含む変分法を拡張すること。
• 抽象的な結果を非線形光学に応用し、周期的誘電率および非線形感受率を有する光誘導結晶におけるギャップソリトンの存在を示すこと。
• 周波数の関数としてのギャップソリトンの分岐挙動を、特にスペクトルギャップの端付近で分析すること。
• 符号が変化する非線形性や漸近的に線形な非線形性（例：飽和効果）のケースを含む、未解決の問題を特定すること。

提案手法

• 周期性およびスペクトルギャップの仮定の下で、ネハリ多様体および一般化されたリンク定理に基づく変分法を用いて、非自明な解の存在を証明する。
• 周期的近似技術を適用して、問題を標準的な臨界点理論に還元し、正定値の場合の結果をスペクトルギャップへと拡張する。
• 光誘導結晶内の電磁波方程式を、$E$-モードのアンザッツと時間平均化された非線形物性関係を用いて、2次元非線形シュレーディンガー方程式に還元する。
• 非線形応答を $\mathbf{D} = (\varepsilon(x) + \chi(x)\langle|\mathbf{E}|\rangle^2)\mathbf{E}$ としてモデル化し、簡略化されたNLSにおける立方非線形性 $f(u) = \chi u^3$ を得る。
• 作用素 $L_\omega = -\Delta - \omega^2\varepsilon(x)$ のスペクトル特性を分析し、$0 \in \sigma(L_\omega)$ ならば、$(-\alpha_-, \alpha_+)$ のようなスペクトルギャップが存在することを示す。
• 解が $-\beta^2$ が $L_\omega$ のスペクトルギャップ内にあるとき、局在的解が存在することを確立し、解がギャップ端でゼロ解から分岐することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形作用素がスペクトルギャップを持つ場合、周期的非線形シュレーディンガー方程式が無限遠で減衰する非自明な解を持つ条件は何か？
• RQ2 周期的非線形性を有する状況下で、変分法を用いて光誘導結晶におけるギャップソリトンの存在を厳密に確立できるか？
• RQ3 ギャップソリトンの性質（局在性や伝搬性）は、周波数 $\omega$ や波数 $\beta$ にどのように依存するか？
• RQ4 非線形性が符号を変える、あるいは漸近的に線形になる（例：飽和非線形性）場合、解の存在にはどのような影響があるか？
• RQ5 非線形率 $\chi(x)$ が符号を定義しない、つまり自己焦点化と自己拡散領域の混合状態の場合に、存在結果を拡張することは可能か？

主な発見

• 非線形性 $f$ が標準的な臨界的でない、超線形の成長および符号条件を満たす場合、$0$ が $-\Delta + V$ の有限スペクトルギャップに含まれる限り、周期的NLSに対して非自明で指数的に減衰する解が存在する。
• 自己焦点化の場合（$\chi > 0$）、$-\beta^2$ が $L_\omega$ のスペクトルに含まれない限り、十分に大きな $|\beta|$ に対して非自明な解が存在する。
• 自己拡散の場合（$\chi < 0$）、非自明な解が存在するのは、$-\beta^2$ が $L_\omega$ の有限スペクトルギャップ内にある場合に限る。スペクトルの下に位置する場合は存在しない。
• $\beta = 0$ かつ $0 \notin \sigma(L_\omega)$ の場合、すべての禁止周波数 $\omega$ に対して、静止ギャップソリトンが存在する。これは $0$ が有限のスペクトルギャップ内にあることに相当する。
• ギャップソリトンは、周波数 $\omega$ がスペクトルギャップ端 $\omega_\pm$ に近づくにつれてゼロ解から分岐し、境界で $\alpha_\pm \to 0$ となる。
• 結果は1次元構造に拡張可能であり、この場合問題は1次元周期的NLSに還元される。また、$\chi(x)$ が符号を定義する媒質に対しても成立するが、$\chi(x)$ が符号を変える場合のケースは未解決のままである。