[論文レビュー] Periodic representations for cubic irrationalities

Marco Abrate, Stefano Barbero+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2013

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、一般化された Rédei 有理関数の形式を用いて、形の立方無理数 $(\sqrt[3]{d^2}, \sqrt[3]{d})$ に対する周期的で分岐する連分数の構築法を提案する。整数 $z$ をパラメータとして用いることで、短く予測可能な周期を保証し、線形再帰列による有理近似を提供することで、このような立方対に対して古典的 Jacobi アルゴリズムの非周期性という問題を克服する。

ABSTRACT

In this paper we present some results related to the problem of finding periodic representations for algebraic numbers. In particular, we analyze the problem for cubic irrationalities. We show an interesting relationship between the convergents of bifurcating continued fractions related to a couple of cubic irrationalities, and a particular generalization of the Redei polynomials. Moreover, we give a method to construct a periodic bifurcating continued fraction for any cubic root paired with another determined cubic root.

研究の動機と目的

• 二次の代数的数を超えるための Hermite 問題、特に立方無理数に対する周期的表現の特定に取り組む。
• $(\sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{9})$ のような特定の立方対に対して、古典的 Jacobi–Perron アルゴリズムが非周期的である問題を克服する。
• Rédei 有理関数を一般化し、立方根のための周期的連分数展開を構築する。
• 線形再帰列から得られる有理近似を体系的に生成するための方法を提供する。
• 適切なパラメータ $z$ を選ぶことで、任意の $d$ に対して周期的展開を構築できることを示す。

提案手法

• Rédei 有理関数を一般化し、立方無理数のためのパラメータ化された周期的で分岐する連分数の族を構築する。
• 列 $A_n, B_n, C_n$ を用いた行列に基づく変換を定義し、連分数の収束値を生成する。
• Jacobi アルゴリズムをベンチマークとして用い、本手法と対比することで、より短く保証された周期を示す。
• 連分数表現を $[\{a_n\}, \{b_n\}]$ の形で構築し、列は一般化された Rédei 関数とパラメータ $z = \lfloor \sqrt[3]{d} \rfloor$ から導出する。
• 極限の収束式を導出し、比 $\tilde{A}_n / \tilde{C}_n$ と $\tilde{B}_n / \tilde{C}_n$ の極限がそれぞれ $\sqrt[3]{d^2}$ および $\sqrt[3]{d}$ に収束することを示す。
• 式 (2.5) の形をした行列積を用いた因数分解条件を確立し、既知の連分数構造と関連付けるが、収束のためには完全な因数分解は必要ない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $d$ に対して、$(\sqrt[3]{d^2}, \sqrt[3]{d})$ の形をした立方無理数に対して周期的連分数展開を構築できるか？
• RQ2 一般化された Rédei 関数の構成は、古典的 Jacobi アルゴリズムよりも短く、より予測可能な周期をもたらすか？
• RQ3 線形再帰列から得られる連分数から、立方無理数の有理近似を体系的に生成できるか？
• RQ4 パラメータ $z$ が存在して、$(\sqrt[3]{d^2}, \sqrt[3]{d})$ のための分岐連分数が保証された小さな周期を持つようにできるか？
• RQ5 行列表現の収束極限が、式 (2.5) の形をした基本行列の積として表される条件は何か？

主な発見

• 任意の $d$ に対して、パラメータ $z = \lfloor \sqrt[3]{d} \rfloor$ を用いることで、$(\sqrt[3]{d^2}, \sqrt[3]{d})$ は周期 3、先行周期 2 を持つ周期的で分岐する連分数に展開可能である。$d=16$ および $d=25$ の例で確認された。
• パラメータ $z=2$ を用いた $(\sqrt[3]{16}, \sqrt[3]{4})$ に対して、本手法は周期 3 の展開を生成するが、Jacobi アルゴリズムは 1000 個の部分商にわたり非周期的である。
• $(\sqrt[3]{25}, \sqrt[3]{5})$ に対して、本手法は先行周期 2 の周期 3 展開を生成するが、Jacobi アルゴリズムは先行周期 7 の周期 6 展開を生成する。
• 有理近似 $\tilde{A}_n / \tilde{C}_n$ と $\tilde{B}_n / \tilde{C}_n$ の極限は、それぞれ $\sqrt[3]{d^2}$ および $\sqrt[3]{d}$ に収束する。式 (3.7) および (3.8) で示された。
• 一般行列の要素を、4 個の (2.5) 形式の行列の積に一致させる有理数解が存在し、任意のこのような立方対に対して周期的連分数を構築可能である。
• 本手法では、行列を完全に (2.5) 形式の行列に因数分解する必要はないが、近似値が実際に分岐連分数の収束値であることを確認するにはその因数分解が必要となる。