[論文レビュー] Periodic solutions and the avoidance of pull--in instability in non--autonomous micro--electro--mechanical systems

Shirali Kadyrov, Ardak Kashkynbayev+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2020

Micro and Nano Robotics参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、T周期的な静電界駆動を受ける非-autonomousなマイクロエレクトロメカニカルシステム（MEMS）における周期的解の存在を調査し、一般の非線形ばね定数およびグラフェンベースのスプリングを用いた場合に、安定なT周期的解および高周期解（nT, n>1）の存在を証明している。Poincaré写像と数値シミュレーションを用いて、これらの解の周囲に大きな吸引域が存在することを示し、プルイン不安定性を回避することが可能であり、周期的励振下におけるMEMSデバイスの安全作動領域が顕著に拡大されることを示している。

ABSTRACT

We study periodic solutions of a one-degree of freedom micro-electro-mechanical system (MEMS) with a parallel-plate capacitor under $T$--periodic electrostatic forcing. We obtain analytical results concerning the existence of $T-$ periodic solutions of the problem in the case of arbitrary nonlinear restoring force, as well as when the moving plate is attached to a spring fabricated using graphene. We then demonstrate numerically on a $T-$ periodic Poincar{\'e} map of the flow that these solutions are generally locally stable with large "islands" of initial conditions around them, within which the pull-in stability is completely avoided. We also demonstrate graphically on the Poincar{\'e} map that stable periodic solutions with higher period $nT, n>1$ also exist, for wide parameter ranges, with large "islands" of bounded motion around them, within which all initial conditions avoid the pull--in instability, thus helping us significantly increase the domain of safe operation of these MEMS models.

研究の動機と目的

• 任意の非線形復元力関数を有する1次元MEMSモデルにおけるT周期的解の存在に関する解析的条件の確立を目的とする。
• h(x)∝x|x|を満たすグラフェンベースのMEMSオシレータにおけるT周期的解の分析を目的とする。
• 数値的に、周期nT（n>1）の安定な周期的軌道およびその吸引域の存在を示すことを目的とする。
• Poincaré写像解析を用いて、プルイン不安定性を回避する初期条件の広範な領域を同定することを目的とする。
• 大規模な吸引域を有する安定な周期的解の同定を通じて、MEMSの安全作動領域を拡張することを目的とする。

提案手法

• T周期的電圧駆動を受けるMEMSを記述する2階の特異な常微分方程式の形式的解析。
• 一般のh(x)に対してT周期的解の存在を証明するための基本的解析的手法の適用。
• h(x)∝x|x|を満たすグラフェンスプリングに対する解析的結果の導出。
• 位相空間構造の可視化を目的として、T周期的Poincaré写像を用いた系のダイナミクスの数値積分。
• 減衰および周波数を変化させた場合のT周期的およびnT周期的軌道（n>1）の吸引域の計算。
• Poincaré写像を用いて、特にc≈6.3×10⁻³およびω=1.21の場合の安定な周期的軌道およびその有界運動領域を可視化。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非-autonomousなMEMSがT周期的駆動を受ける場合、任意の非線形ばね定数h(x)に対してT周期的解が存在する条件は何か？
• RQ2 減衰や駆動周波数などの系パラメータが、T周期的解の安定性および吸引域に与える影響は何か？
• RQ3 同じパrameter領域内に、周期nT（n>1）の安定な周期的解が存在するか？また、それらはより広範な有界運動領域をサポートできるか？
• RQ4 高周期の安定な軌道の存在が、プルイン不安定性を回避することで、作動領域を顕著に拡大できるか？
• RQ5 微小な減衰が、周期的解のグローバルダイナミクスおよび吸引域の形状に果たす役割は何か？

主な発見

• T周期的解は、広範な非線形ばね定数関数h(x)に対して存在し、一般に局所安定であり、大規模な吸引域を有する。
• h(x)∝x|x|を満たすグラフェンベースのMEMSでは、厳密な解析的結果により、特定の初期条件およびパラメータ値と関連したT周期的解の存在が確認された。
• 数値的Poincaré写像解析により、n>1のnT周期的解が安定であり、大規模な有界運動の島が存在することが判明し、安全作動領域がさらに拡大された。
• 微小な減衰（c≈6.3×10⁻³）に対しても、安定なnT周期的解が存続し、大規模な吸引域内で初期条件を吸引するため、プルイン不安定性を回避できる。
• T周期的解および3T周期的解の吸引域は、複雑でねじれたらせん構造を示し、複数のアトラクターの共存を示している。
• 微小な散逸（c<<1）下では、Poincaré写像の原点におけるT周期的解がグローバルアトラクターとなるが、安定なnT軌道は周囲の初期条件に対しても有効に機能する。