[論文レビュー] Periodic solutions of piecewise affine gene network models: the case of a negative feedback loop

Etienne Farcot, Jean‐Luc Gouzé|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2006

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、単一の負のフィードバックループを有する区分的アフィン遺伝子ネットワークモデルにおいて、固定点定理を用いて安定な周期的軌道の存在および一意性を確立する。先行研究とは異なり、同等の崩壊率を仮定しない。次元 >2 では一意な非自明な極小周期軌道に収束し、次元2では原点に収束する。

ABSTRACT

In this paper the existence and unicity of a stable periodic orbit is proven, for a class of piecewise affine differential equations in dimension 3 or more, provided their interaction structure is a negative feedback loop. It is also shown that the same systems converge toward a unique stable equilibrium point in dimension 2. This extends a theorem of Snoussi, which showed the existence of these orbits only. The considered class of equations is usually studied as a model of gene regulatory networks. It is not assumed that all decay rates are identical, which is biologically irrelevant, but has been done in the vast majority of previous studies. Our work relies on classical results about fixed points of monotone, concave operators acting on positive variables. Moreover, the used techniques are very likely to apply in more general contexts, opening directions for future work.

研究の動機と目的

• 負のフィードバックループを有する区分的アフィン遺伝子ネットワークモデルにおける安定な周期的軌道の存在および一意性を確立すること。
• Snoussiの先行結果における極小周期軌道の存在を拡張し、同一の崩壊率を仮定せずに一意性および安定性を証明すること。
• このような系における最初の帰還Poincaré写像が単調かつ凹的であることを示し、固定点理論の適用を可能にすること。
• 次元2ではすべての軌道が原点に収束するが、次元 >2 では一意な非ゼロ固定点に収束することを示すこと。
• 単調かつ凹的作用素理論を用いた数学的に厳密で自己完結的な証明を提供し、特定のモデルクラスを超えて適用可能であるようにすること。

提案手法

• 特定の断面 $\mathcal{Z}^1$ 上で定義された最初の帰還Poincaré写像 $\mathbf{T}$ を用いて、周期的な領域の列を横切る軌道のダイナミクスを分析する。
• 区分的アフィン系の構造を活用し、正の錐 $[0,p]$ 上における単調かつ凹的作用素のSmithの固定点定理を適用する。
• Poincaré写像 $\mathbf{T}$ が連続的であり、内部で $C^1$ であり、単調性 (M) および厳密な凹性 (C) 条件を満たすことを確立する。
• ヤコビ行列 $DT(0)$ のスペクトル半径 $\lambda$ を示し、$\lambda > 1$ を用いて一意な非ゼロ固定点の存在を保証する。
• 生成および分解項の符号構造を分析し、サイクルに沿ったヤコビ行列要素の積が1に等しくなることを示し、写像の正値性と一貫性を保証する。
• 有限ステップ後に、すべての軌道が最初の帰還写像が単調かつ凹的になる領域に到達することを示し、固定点定理の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負のフィードバックループを有する区分的アフィン遺伝子ネットワークモデルにおいて、等しい崩壊率を仮定せずに、一意な安定な周期的軌道が存在するか？
• RQ2 このような系のダイナミクスは次元2と次元 >2 でどのように異なるか？
• RQ3 単調かつ凹的作用素の固定点理論を用いて、極小周期軌道の存在および一意性を厳密に証明できるか？
• RQ4 遺伝子ネットワークモデルの文脈において、最初の帰還Poincaré写像が単調かつ凹的であるための条件は何か？
• RQ5 本稿で用いられた数学的枠組みは、単一の負のフィードバックループを越えて、より複雑なレギュラトリーネットワークトポロジーへ一般化可能か？

主な発見

• 次元 $n > 2$ では、$\mathcal{Z}^1$ の内部に一意な非ゼロ固定点 $q = \mathbf{T}q$ が存在し、Poincaré写像の反復においてすべての軌道が $q$ に収束する。
• 次元 $n = 2$ では、すべての $x \in \mathcal{Z}^1$ に対して $\mathbf{T}^m x \to 0$ ($m \to \infty$) が成り立ち、原点への収束を示す。
• スペクトル半径 $\lambda = \rho(DT(0))$ が長期的挙動を決定づける：$\lambda > 1$ であれば一意な非ゼロ固定点が存在し、$\lambda \leq 1$ であれば原点がグローバルアトラクターである。
• Poincaré写像 $\mathbf{T}$ は $[0,p]$ 上で単調かつ厳密に凹的であり、Smithの固定点定理に必要な条件を満たす。
• 生成および分解項の符号の一貫性により、写像内の任意のサイクルに沿ったヤコビ行列要素の積が1に等しくなる。これにより写像の正値性と構造的整合性が保証される。
• 証明は自己完結的であり、崩壊率が等しいという仮定に依存せず、先行研究よりも生物学的に現実的である。