[論文レビュー] Periodic solutions of wave equations for asymptotically full measure sets of frequencies

Pietro Baldi, Massimiliano Berti|ArXiv.org|Dec 2, 2005

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\omega=1$ の近くで漸近的に全測度に近いカントール型の周波数集合において、非線形波動方程式の小振幅周期解の存在を確立する。非線形項が二次、三次、四次である場合に、リャプノフ＝シュミットの還元と、ヤコビ楕円関数を用いた変分方程式の解析により、0次近似の分岐方程式の非退化性を示し、数値計算を用いずに解析的手法によって解の構成を可能にする。

ABSTRACT

We prove existence and multiplicity of small amplitude periodic solutions of the completely resonant wave equation u_tt - u_xx + f(x,u)=0 with Dirichlet boundary conditions where f(x,u)=a_2 u^2 + a_3(x) u^3 + O(u^4) or f(x,u)= a_4 u^4 + O(u^5) for a Cantor-like set of frequencies omega of asymptotically full measure at omega=1.

研究の動機と目的

• 完全共振する非線形波動方程式に対して、特定の非線形項を有する小振幅周期解の存在を確立すること。
• このような解が $\omega=1$ の近くで漸近的に全測度の周波数集合に対して存在することを示し、零測度のカントール集合に限った先行研究を改善すること。
• 二次、三次、四次非線形項に対して、完全に解析的技法を用いて0次近似分岐方程式の非退化性を証明すること。
• 分岐法の適用範囲を非線形波動方程式へ拡張するために、楕円関数解析を用いて小分母問題を解決すること。

提案手法

• 無限次元問題を有限次元の分岐方程式と範囲方程式に分離するために、リャプノフ＝シュミットの還元を適用する。
• ヤコビ楕円関数、特に $\mathrm{sn}^2$ の性質を用いて、0次近似分岐方程式の非退化性を解析する。
• 変分的定式化と完全楕円積分 $K(m)$ および $E(m)$ を含む積分恒等式を用いて、$\langle \mathrm{sn}^2(\cdot, m) \rangle$ の挙動を研究する。
• ホルダーの不等式と楕円積分の漸近的解析を用いて、重要な式の正値性および単調性を確立する。
• 指数関数的およびソボレフ的重みを含む $L^2$-型ノルムを備えた重み付きヒルベルト空間 $X_{\sigma,s,n}$ において、$2\pi/n$-周期性を持つ解を構成する。
• パrameter $\delta$ に沿った $C^\infty$-曲線としての解を用い、$\|u_\delta - \delta \bar{v}_n\| = O(\delta^2)$ を満たすことで、$\delta \to 0$ のとき非自明な解に収束することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全共振波動方程式において、$\omega=1$ の近くで漸近的に全測度の周波数集合に対して周期解を構成できるか？
• RQ2 二次、三次、四次非線形項に対して、0次近似分岐方程式が非退化な周期解を有するか？
• RQ3 このような非線形項に対して、数値的検証を用いずに、解析的技法によって分岐方程式の非退化性を確立できるか？
• RQ4 二次項と三次項の相互作用が分岐図および周波数シフトに与える影響は何か？
• RQ5 解が存在する周波数集合 $\mathcal{W}_n$ の漸近的測度は何か？また、$\omega \to 1$ のときその挙動はいかなるか？

主な発見

• 非線形項が $f(x,u) = a_2 u^2 + a_3(x)u^3 + O(u^4)$ または $f(x,u) = a_4 u^4 + O(u^5)$ である場合、0次近似分岐方程式は非退化な周期解を有する。
• $\mathcal{C}_n \subset (0,\delta_0)$ として、解が存在するパrameter $\delta$ の集合は漸近的に全測度である：$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \mathrm{meas}(\mathcal{C}_n \cap (0,\varepsilon)) / \varepsilon = 1$。
• 周波数 $\omega(\delta)$ は、二次・三次非線形項に対して $\sqrt{1 - 2s^*/\delta^2}$、四次非線形項に対して $\sqrt{1 - 2\delta^6}$ で与えられ、$s^*$ は $\langle a_3 \rangle$ の符号に依存する。
• 対応する周波数集合 $\mathcal{W}_n = \{ \omega(\delta) \mid \delta \in \mathcal{C}_n \}$ もまた、$\omega = 1$ の近くで漸近的に全測度を有する。
• $\omega$ がカントール型の集合 $\mathcal{W}$ に属する任意の値に対して、同じ周期を持つ幾何学的に異なる周期解が任意に多く存在し、$\omega \to 1$ のときその個数 $N_\omega \to \infty$ に発散する。
• 分岐方程式の非退化性は、積分不等式および楕円関数の性質を用いて、$A_0$ の符号が $-s^*$ であることを示すことにより、解析的に証明された。