[論文レビュー] Periodic Solutions to Dissipative Hyperbolic Systems. I: Fredholm Solvability of Linear Problems

Irina Kmit, Lutz Recke|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2011

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1次元空間における反射境界条件を伴う線形一階双曲型系の周期的時間解について、Fredholm可解性と$C^1$-正則性を確立する。反射境界条件のもとで、$a_j$, $b_{jj}$および境界係数に依存する1つの非共鳴条件、および$\nabla_t a_j$を含む別の非共鳴条件を導入し、非厳密双曲型の場合でさえもFredholm選言法と強化された正則性を保証する。

ABSTRACT

This paper concerns linear first-order hyperbolic systems in one space dimension of the type $$ \partial_tu_j + a_j(x,t)\partial_xu_j + \sum\limits_{k=1}^nb_{jk}(x,t)u_k = f_j(x,t),\; x \in (0,1),\; j=1,\ldots,n, $$ with periodicity conditions in time and reflection boundary conditions in space. We state a non-resonance condition (depending on the coefficients $a_j$ and $b_{jj}$ and the boundary reflection coefficients), which implies Fredholm solvability of the problem in the space of continuous functions. Further, we state one more non-resonance condition (depending also on $\partial_ta_j$), which implies $C^1$-solution regularity. Moreover, we give examples showing that both non-resonance conditions cannot be dropped, in general. Those conditions are robust under small perturbations of the problem data. Our results work for many non-strictly hyperbolic systems, but they are new even in the case of strict hyperbolicity.

研究の動機と目的

• 反射境界条件を伴う線形一階双曲型系の周期的時間解に対するFredholm選言法を確立すること。
• 連続関数空間におけるFredholm可解性を保証する係数$a_j$, $b_{jj}$および境界反射項に関する非共鳴条件を同定すること。
• 解の$C^1$-正則性を保証する$ abla_t a_j$を含む第二の非共鳴条件を導出すること。
• 反例を用いて両条件の厳密性を示し、微小摂動に対してもその頑健性を示すこと。
• すべての係数が$C^\infty$-滑らかで、$a_j$が時間に依存しない場合に、正則性結果を$C^\infty$-滑らかな解へと拡張すること。

提案手法

• 特性曲線$\tau_j(\xi,x,t)$および積分因子$c_j(\xi,x,t)$, $d_j(\xi,x,t)$を用いて、偏微分方程式系を等価な積分方程式系に変換する。
• 時間に関して$2\pi$-周期的で連続的および連続微分可能な関数の空間$\mathcal{C}_n$および$\tilde{\mathcal{C}}_n^1$を定義する。
• 特性曲線法を用いて、境界条件および周期的条件を符号化する積分表現式(1.9)および(1.10)を導出する。
• 線形作用素$I - C - D$に関連する作用素論的技法を用い、そのFredholm性を証明する。
• 時間微分$\partial_t^k u$に関する帰納法を用いて、第二の非共鳴条件のもとで$\partial_t^k u \in \tilde{\mathcal{C}}_n^1$であることを示し、正則性を確立する。
• 偏微分方程式および積分方程式を繰り返し微分することで$C^1$-正則性および高次正則性を証明し、$a_j$の時間不変性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数$a_j$, $b_{jj}$および反射項$r_{jk}$がどのような条件下で、連続関数空間における周期的双曲型系がFredholm選言法を満たすか。
• RQ2 解の$C^1$-正則性を保証するための$\partial_t a_j$に関する追加条件は何か。
• RQ3 非共鳴条件を弱めるか、あるいは取り除くと、Fredholm可解性または正則性を失うおそれがあるか。
• RQ4 特に反射境界条件が、周期的解の可解性および正則性にどのように影響を与えるか。
• RQ5 特性曲線$\tau_j(\xi,x,t)$および積分因子$c_j$, $d_j$は、PDE系を解ける積分形式に還元するために果たす役割は何か。

主な発見

• 第一の非共鳴条件（$a_j$, $b_{jj}$, $r_{jk}$に依存）は、$\mathcal{C}_n$における周期的問題のFredholm可解性にとって必要かつ十分である。
• 第二の非共鳴条件（$\partial_t a_j$を含む）は、解が$C^1$-滑らかであることを保証する。さらに$a_j$が時間に依存せず、すべてのデータが$C^\infty$-滑らかであれば、解は$C^\infty$-滑らかになる。
• 第一の非共鳴条件は削除できない。反例により、Fredholm可解性が失われる場合があることが示された。
• 第二の非共鳴条件も不可欠である。$C^1$-正則性がこの条件なしでは失敗する例が示された。
• 非共鳴条件は、問題データの微小な$C^1$-摂動に対しても頑健である。
• 積分形式(1.9)–(1.10)は、古典的解を完全に特徴づけ、作用素論的技法を用いてFredholm性および正則性を証明するのに有効である。