[論文レビュー] Periodic solutions with prescribed minimal period of the 2-vortex problem in domains

Thomas Bartsch, Matteo Sacchet|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2つの点渦が存在する平面領域における2体問題に対して、最小周期が事前に指定された無限個の周期的解の存在を示している。この解は、ロビン関数の等高線に沿った遅い中心渦の運動と、中心渦回りの速い回転の重ね合わせとして構成される。結果は、幾何的条件を満たす集合𝒜⊂Ωに対して適用可能であり、任意の最小周期T∈I(𝒜)に対して成り立つ。この結果は、高次元版のポincare-Birkhoff定理を用いることで得られている。

ABSTRACT

We consider the Hamiltonian system \[ \dot{z}_k = J abla_{z_k} H_\Omega(z_1,z_2), \quad k=1,2, \] for two point vortices $z_1,z_2\in\Omega$ in a domain $\Omega\subset\mathbb{R}^2$. The Hamiltonian $H_\Omega$ is of the form \[ H_\Omega(z_1,z_2) = -\frac{1}{2\pi} \log |z_1-z_2| - 2g(z_1,z_2) - h(z_1) - h(z_2), \] where $g:\Omega imes\Omega o\mathbb{R}$ is the regular part of a hydrodynamic Green's function in $\Omega$, and $h:\Omega o\mathbb{R}$ is the Robin function: $h(z)=g(z,z)$. The system is singular and not integrable, except when $\Omega$ is a disk or an annulus. We prove the existence of infinitely many periodic solutions with minimal period $T$ which are a superposition of a slow motion of the center of vorticity along a level line of $h$ and of a fast rotation of the two vortices around their center of vorticity. These vortices move in a prescribed subset $\mathcal{A}\subset\Omega$ that has to satisfy a geometric condition. The minimal period can be any $T$ in an interval $I(\mathcal{A})\subset\mathbb{R}$. Subsets $\mathcal{A}$ to which our results apply can be found in any generic bounded domain. The proofs are based on a recent higher dimensional version of the Poincar\'e-Birkhoff theorem due to Fonda and Ure\~na.

研究の動機と目的

• 有界領域Ω⊂ℝ²における2点渦の問題に対して、最小周期が事前に指定された周期的解の存在を確立すること。
• 一般の領域における特異的かつ可積分でないハミルトニアン系としての2渦の運動を解析すること。
• このような周期的解の存在を保証する、部分集合𝒜⊂Ωにおける幾何的条件を同定すること。
• 解の最小周期Tが、𝒜に依存する特定の区間I(𝒜)内の任意の値を取り得ることを示すこと。
• 円盤やアニュラスのような可積分な場合に限らない、周期的解の存在に関する結果の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 水力学的グリーン関数の正則部とロビン関数を用いて、Ω⊂ℝ²における2点渦のハミルトニアン系を定式化すること。
• 運動を、ロビン関数h(z)の等高線に沿った中心渦の遅い移動と、中心渦回りの速い回転に分解すること。
• FondaとUreñaによる最近の高次元版ポincare-Birkhoff定理を適用し、周期的解の存在を証明すること。
• ポincare-Birkhoffの議論の適用を保証する、部分集合𝒜⊂Ωにおける幾何的条件を同定すること。
• 解の最小周期Tが、𝒜の幾何的性質によって定まる区間I(𝒜)内の任意の値を取り得ることを示すこと。
• 対数的および正則部を含むハミルトニアンHΩの構造を用いて渦の相互作用をモデル化し、力学系を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有界領域Ω⊂ℝ²における2体問題に対して、最小周期が事前に指定された周期的解を構成することは可能か？
• RQ2 このような周期的解の存在を保証するための、部分集合𝒜⊂Ωにおける必要十分な幾何的制約は何か？
• RQ3 遅い中心渦の運動と速い回転運動の相互作用は、解の周期性にどのように寄与するか？
• RQ4 与えられた部分集合𝒜⊂Ωに閉じ込められた解に対して、任意の最小周期T∈I(𝒜)を達成することは可能か？
• RQ5 結果は、円盤やアニュラスのような可積分な場合を越えて、どの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 一般の有界領域Ω⊂ℝ²における2体問題に対して、最小周期Tが指定された無限個の周期的解が存在する。
• 解は、ロビン関数h(z)の等高線に沿った中心渦の遅い運動と、中心渦回りの速い回転の重ね合わせである。
• 最小周期Tは、部分集合𝒜⊂Ωの幾何的性質に依存する区間I(𝒜)⊂ℝ内の任意の値を取り得る。
• このような解の存在を保証するためには、部分集合𝒜⊂Ωが特定の幾何的条件を満たす必要があり、このような部分集合は一般の有界領域においても存在する。
• 結果は、高次元版ポincare-Birkhoff定理を用いて得られており、特異的かつ可積分でないハミルトニアン系への適用範囲を拡張している。
• 本手法は、円盤やアニュラスのような可積分な場合に限らず適用可能であり、既知の周期的解の存在に関する結果の適用範囲を著しく拡大している。