[論文レビュー] Periodic unfolding and homogenization for the Ginzburg-Landau Equation

Myrto Sauvageot|ArXiv.org|Apr 11, 2009

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Ginzburg-Landauパラメータ $\varepsilon$ と幾何的スケールパラメータ $\delta$ の二パラメータスケーリングを用いて、Ginzburg-Landau方程式の均質化に周期的アンフォールディング法を適用する。適切な $\varepsilon(\delta)$ の選択のもと、極限解 $u_\infty$ が、均質化行列 $A^0$ に関する $S^1$-値調和写像であり、有効幾何に依存する非線形方程式を満たすことを証明する。

ABSTRACT

We investigate, on a bounded domain $Ω$ of $\R^2$ with fixed $S^1$-valued boundary condition $g$ of degree $d>0$, the asymptotic behaviour of solutions $u_{\varepsilon,δ}$ of a class of Ginzburg-Landau equations driven by two parameter : the usual Ginzburg-Landau parameter, denoted $\varepsilon$, and the scale parameter $δ$ of a geometry provided by a field of $2 imes 2$ positive definite matrices $x o A(\frac{x}δ)$. The field $\R^2 i x o A(x)$ is of class $W^{2,\infty}$ and periodic. We show, for a suitable choice of the $\varepsilon$'s depending on $δ$, the existence of a limit configuration $u_\infty\in H^1_g(Ω,S^1)$, which, out of a finite set of singular points, is a weak solution of the equation of $S^1$-valued harmonic functions for the geometry related to the usual homogenized matrix $A^0$.

研究の動機と目的

• 周期的なミクロ構造を有するGinzburg-Landau方程式の解の漸近的挙動を解析すること。
• 周期的アンフォールディング法を用いて、非線形Ginzburg-Landauフレームワークへの均質化理論を拡張すること。
• 極限解が、均質化行列 $A^0$ に関する $S^1$-値調和写像方程式の弱解であることを確立すること。
• 周期的係数場 $A(x/\delta)$ を有する不均質媒質へのGinzburg-Landau最小化子に関する先行結果を一般化すること。

提案手法

• 関数 $u$ を $\Omega$ 上から $\Omega \times Y$ 上の関数に変換する周期的アンフォールディング作用素 $T_\delta$ の適用により、$L^2$ ノルムを保存するとともに微分作用素を取り扱う。
• アンフォールディングによる2スケール収束を用いて、$\delta \to 0$ の下での $u_{\varepsilon,\delta}$ の極限を解析し、$\varepsilon(\delta)$ を適切に選ぶ。
• 弱収束を $L^2(\Omega \times Y)$ でとるため、勾配のアンフォールディングと境界条件を用いて極限方程式を導出する。
• 周期的セル問題を用いて均質化行列 $A^0$ を特定し、$A^0 = \int_Y A(y) \, dy + \text{補正項}$ として定義する。
• アンフォールドされた方程式をテスト関数と乗じ、極限においてマクロスケール方程式を導出する。その結果、$-\text{div}(A^0 \nabla u_\infty) \wedge u_\infty = 0$ が得られる。
• 周期的アンフォールディングの等長性および収束性を用いて、$T_\delta(\nabla u_n)$ が弱収束して $\nabla_x u_\infty + \nabla_y \widehat{u}$ となることを正当化する。ここで $\widehat{u}$ は周期的かつ平均ゼロである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的なミクロ構造を有するGinzburg-Landau方程式の解 $u_{\varepsilon,\delta}$ が $\delta \to 0$ の下でどのように漸近的に振る舞うか。
• RQ2 周期的アンフォールディング法は非線形Ginzburg-Landau設定における均質化をどのように促進するか。
• RQ3 極限解 $u_\infty$ が、均質化行列 $A^0$ に関する調和写像として特徴付けられるか。
• RQ4 マクロスケール領域における極限 $u_\infty$ が満たす有効方程式は何か。

主な発見

• 極限解 $u_\infty$ は $H^1_g(\Omega, S^1)$ に属し、$A^0$-調和写像方程式 $-\text{div}(A^0 \nabla u_\infty) = u_\infty \cdot (\nabla u_\infty \cdot A^0 \nabla u_\infty)$ の弱解である。
• 極限 $u_\infty$ は almost everywhere で $S^1$-値であり、$A^0$ で定義される有効計量の意味で調和的である。
• アンフォールディング法により、$L^2(\Omega \times Y)$ における弱収束に直接的に移行することで、均質化方程式が導出可能である。
• 均質化行列 $A^0$ は周期的セル問題により明示的に定義され、極限のマクロスケール幾何を決定する。
• 極限方程式は、アンフォールドされた方程式をテスト関数と乗じ、$\delta_n \to 0$ の極限を取ることで導出され、$-\text{div}_x \int_Y A(y)(\nabla_x u_\infty + \nabla_y \widehat{u}) \, dy \wedge u_\infty = 0$ を得る。
• 最終的な極限方程式は $-\text{div}(A^0 \nabla u_\infty) \wedge u_\infty = 0$ と同値であり、これは $-\text{div}(A^0 \nabla u_\infty) = u_\infty \cdot f$ に帰着され、ここで $f = \nabla u_\infty \cdot A^0 \nabla u_\infty$ である。