[論文レビュー] Periodically wrinkled plate of the Föppl-von Kármán type

Igor Velčić|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2011

Structural Analysis and Optimization参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、3次元非線形弾性から$Γ$-収束を用いて、Föppl-von Kármán型の周期的しわの生じた板モデルを導出する。板の厚さを$h^2$と仮定し、中面に周期的微細構造$h^2\theta(x_1/h, x_2/h)$を有する場合、ひずみエネルギーが$h^8$に比例することを示し、曲げ（$\nabla^2 v$）と伸び（$\mathop{\rm sym}\nabla{\bf u} + \frac{1}{2}\nabla v \otimes \nabla v$）エネルギーが結合された極限モデルが得られ、しわの生じた薄板構造の力学的挙動を捉える。

ABSTRACT

In this paper we derive, by means of $Γ$-convergence, the periodically wrinkled plate model starting from three dimensional nonlinear elasticity. We assume that the thickness of the plate is $h^2$ and that the mid-surface of the plate is given by $(x_1,x_2) o (x_1,x_2,h^2θ(\per))$, where $θ$ is $[0,1]^2$ periodic function. We also assume that the strain energy of the plate has the order $h^8=(h^2)^4$, which corresponds to the Föppl-von Kármán model in the case of the ordinary plate. The obtained model mixes the bending part of the energy with the stretching part.

研究の動機と目的

• 3次元非線形弾性から導出された周期的しわの生じた薄板の2次元板モデルを正当化すること。
• 厚さ$h^2$および中面変形$h^2\theta(x_1/h, x_2/h)$を有する板の漸近的挙動を分析すること、ここで$\theta$は$[0,1]^2$-周期的である。
• 曲げと伸び寄りの寄与を結合する極限エネルギー関数を確立することにより、古典的Föppl-von Kármánモデルをしわの生じた状態に一般化すること。
• 極限エネルギー関数が微小変形$\theta$そのものに依存することを示し、初期幾何的不備の力学的役割を強調すること。

提案手法

• $h \to 0$のとき、3次元非線形弾性エネルギーを$h^8$でスケーリングし、$Γ$-収束を適用する。
• 中面における周期的微細構造を扱うために2スケール収束を用いる。パラメータは$\theta(x_1/h, x_2/h)$で表される。
• 参照配置を、厚さ$h^2$および中面$\hat{\Omega}^h = \Theta^h(\omega \times (-h^2/2, h^2/2))$を有するシェルとして定義する。ここで$\Theta^h$は周期的形状関数$\theta$を組み込む。
• 変位のアンサンブル$\tilde{\bf y}^h = (\bar{{\bf R}}^h)^T {\bf y}^h - {\bf c}^h$を導入し、変形を巨視的および微視的成分に分解する。
• 極限エネルギー関数$J_0^L({\bf u}, v, \bar{{\bf R}})$を導出し、曲げ（$\nabla^2 v$）と伸び（$\mathop{\rm sym}\nabla{\bf u} + \frac{1}{2}\nabla v \otimes \nabla v$）の項を組み合わせる。
• 空間$W^{1,2}(\omega;\mathbb{R}^2) \times W^{2,2}(\omega) \times \mathop{\rm SO}(3)$における極限関数の最小値の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 薄板に周期的微細座屈（しわ）が存在する場合、3次元弾性から導出された有効な2次元エネルギー・モデルにどのような影響を与えるか？
• RQ2 しわの生じた板において曲げと伸びを結合する非自明な極限モデルを得るためには、ひずみエネルギーのスケーリングとしてどの程度の$h^8$が必要か？
• RQ3 極限エネルギー関数が微小変形$\theta$そのものに依存する理由は何か？これは標準的板モデルとは対照的である。
• RQ4 $Γ$-収束および2スケール収束の使用により、厚さ$h^2$および周期的中面変形を有する板の整合的な極限モデルをどのように導出できるか？
• RQ5 極限エネルギーにおける回転$\bar{{\bf R}}$の役割は何か？また、荷重$f_3 \neq 0$のとき$\bar{{\bf R}}_{33} = \pm 1$となるのはなぜか？

主な発見

• 極限エネルギー関数$J_0^L$は、曲げ（$\nabla^2 v$）と伸び（$\mathop{\rm sym}\nabla{\bf u} + \frac{1}{2}\nabla v \otimes \nabla v$）の項を結合しており、しわの形成と変形の間の力学的相互作用を反映している。
• ひずみエネルギーは$h^8 = (h^2)^4$に比例し、これは厚さ$h^2$の板におけるFöppl-von Kármánモデルの次数に対応しており、スケーリングの選択を正当化する。
• 極限関数の最小値は空間$W^{1,2}(\omega;\mathbb{R}^2) \times W^{2,2}(\omega) \times \mathop{\rm SO}(3)$に存在し、モデルの数学的適切性を保証する。
• 横方向荷重$f_3 \neq 0$のとき、極限回転は$\bar{{\bf R}}_{33} = 1$または$-1$を満たし、板の姿勢が極限で剛体回転に安定化することを示している。
• モデルは形状関数$\theta$そのものに明示的に依存しており、その微分ではなく、しわの生じた状態における初期幾何的不備が力学的に重要であることを示している。
• $Γ$-収束および2スケール収束による導出により、3次元非線形弾性の$h \to 0$極限としてモデルが厳密に正当化され、一貫性が確立されている。