[論文レビュー] Periodicity and Circle Packing in the Hyperbolic Plane

Lewis Bowen|ArXiv.org|Apr 22, 2003

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、共通有限対称性群を備える周期的円詰め—つまり、双曲平面における半径 $ r $ 円詰めの等長不変確率測度の空間に、密度が稠密であることを確立する。主な結果は、このような詰めの上限密度が、任意の等長不変測度によって達成可能な最大密度と一致することであり、この最大密度関数は半径に連続的に依存する。

ABSTRACT

We prove that given a fixed radius $r$, the set of isometry-invariant probability measures supported on ``periodic'' radius $r$-circle packings of the hyperbolic plane is dense in the space of all isometry-invariant probability measures on the space of radius $r$-circle packings. By a periodic packing, we mean one with cofinite symmetry group. As a corollary, we prove the maximum density achieved by isometry-invariant probability measures on a space of radius $r$-packings of the hyperbolic plane is the supremum of densities of periodic packings. We also show that the maximum density function varies continuously with radius.

研究の動機と目的

• 双曲円詰めにおける基礎的問題を解決するため、密度が明確に定義されておらず、最適詰めが存在するか不明な点を扱う。
• 双曲平面における半径 $ r $ 円詰めの等長不変確率測度が、周期的詰めの稠密な部分集合を含むことを示す。
• すべての不変測度における最大密度が、周期的詰めの密度の上限として達成されることを確立する。
• 最大密度関数が半径 $ r $ に関して連続であることを証明し、ユークリッド幾何学から双曲幾何学への結果の拡張を図る。

提案手法

• 双曲平面における半径 $ r $ 円詰めの空間における等長不変確率測度を分析するため、エルゴディック理論の枠組みを用いる。
• Nevo と Stein のエルゴディック理論の結果を適用し、$ \mu $-ほとんど everywhere の詰めに対して、密度が存在し、原点に依存しないことを示す。
• 測度 $ \mu $ の密度を、原点を覆う詰めの $ \mu $-測度として定義することで、空間全体にわたる一貫性を保証する。
• 弱*位相における等長不変測度の空間のコンパクト性を活用し、最適に稠密な測度の存在を保証する。
• コンパクト部分集合上で一様収束する位相を用いて、詰めの列の収束および密度の挙動を分析する。
• 双曲幾何学の結果、特に完全で有限体積の双曲多様体および分岐被覆の存在を応用し、連続性および密度の議論を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半径 $ r $ 円詰めの周期的詰めの集合は、双曲平面における等長不変確率測度の空間において稠密か？
• RQ2 半径 $ r $ 円詰めのすべての等長不変測度における最大密度は、周期的詰めの密度の上限と等しいか？
• RQ3 最大密度関数 $ D(r) $ は、双曲平面における半径 $ r $ に関して連続的か？
• RQ4 最適密度が、単一の周期的詰めによって達成されない場合でも、その極限として周期的詰めの列によって実現可能か？
• RQ5 双曲平面における密度の挙動は、特にホモセチーと不変性に関して、ユークリッド空間におけるそれとどのように異なるか？

主な発見

• 双曲平面における周期的半径 $ r $ 円詰めに台を持つ等長不変確率測度の集合は、すべての同様の測度の空間において稠密である。
• 半径 $ r $ 円詰めの任意の等長不変測度によって達成可能な最大密度は、周期的詰めの密度の上限と等しい。
• 最大密度関数 $ D(r) $ は半径 $ r $ に関して連続的に変化し、半径の変化に伴う最適詰め密度の安定性を保証する。
• すべての $ r $ に対して、最適密度に収束する周期的詰めの列が存在する。ただし、その中で最大密度に正確に達する単一の周期的詰めが存在するとは限らない。
• 等長不変確率測度 $ \mu $ の下で、$ \mu $-ほとんど everywhere の詰めに対して、詰めの密度は原点に依存せず、明確に定義される。
• この枠組みはホロボール詰めに拡張可能であり、$ r \to \infty $ の極限における $ D(r) $ の連続性（すなわち無限大における連続性）は、ユークリッド球詰め密度への収束によって確立される。