[論文レビュー] Periodicity for space-inhomogeneous quantum walks on the cycle

Toshiyuki Arai, Choon-Lin Ho+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、サイクルグラフ上の空間不均一な量子ウォークにおける周期性を調査し、移動シフト（MS）とフリップフロップシフト（FF）の2種類の時間発展演算子に注目する。等スペクトルなコインの場合、スペクトル解析によりハダマードウォークで知られている周期性の結果が拡張される。非等スペクトルな場合で、原点に一般のコインが1つ、残りは恒等コインである場合、全系の周期性は、唯一の非恒等コインの固有値によって完全に決定され、周期 $ T_n(U^{FF}) = Mn $ となる。ここで $ M $ は、一般コインの固有位相の分母の最小公倍数である。

ABSTRACT

In this paper, we consider periodicity for space-inhomogeneous quantum walks on the cycle. For isospectral coin cases, we propose a spectral analysis. Based on the analysis, we extend the result for periodicity for Hadamard walk to some isospectral coin cases. For non-isospectral coin cases, we consider the the system that uses only one general coin at the origin and the identity coin at the other sites. In this case, we show that the periodicity of the general coin at the origin determines the periodicity for the whole system.

研究の動機と目的

• 空間不均一なコインを有するサイクルグラフ上の離散時間量子ウォークにおける周期性の分析。
• スペクトル解析を用いて、ハダマードウォークの既知の周期性結果を等スペクトルコインの状況に拡張すること。
• 原点でのみ一般ユニタリコインが使用され、他の場所では恒等コインが使用される非等スペクトル量子ウォーク系の周期性を特定すること。
• 非等スペクトル状況における全系の周期性と非一様コインの固有値との間の関係を確立すること。

提案手法

• サイクルグラフ上での移動シフト（MS）とフリップフロップ（FF）ウォークの時間発展演算子 $ U_n $ のスペクトル解析。
• 固有値分解とユニタリ同値性を用いて、$ \mathrm{Spec}(U_n^{FF}) $ と $ \mathrm{Spec}(U_n^{MS}(\mathcal{C}_n\sigma_x)) $ の関係を確立し、モデル間での結果の移転を可能にする。
• $[C:1,I_2:m]$ モデルの定義：サイト0に一般コイン $ C $ を配置し、他の場所には恒等コインを配置し、$ n \equiv 0 \pmod{m+1} $ を満たす。
• $ U_n $ の $ kn $ 乗を導出することで、原点における非一様コインの寄与を分離する。
• 一般コインの固有位相の分母の最小公倍数（lcm）を用いて、全系の周期を計算する。
• コイン $ C $ の固有値によって決定される $ U_n^{FF} $-周期性を用い、$ T_n(U^{FF}) = Mn $ と表す。ここで $ M = \mathrm{lcm}(M_1,M_2) $ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間不均一なコインを有するサイクル上の量子ウォークにおける周期性は、異なるサイトにおけるコイン演算子にどのように依存するか？
• RQ2 原点に唯一の非恒等コインが配置された量子ウォークの周期性は、そのコインの固有値によって完全に特徴付けられるか？
• RQ3 コインの不均一性がある場合、MS と FF ウォークモデル間の周期性にはどのような関係があるか？
• RQ4 等スペクトルコイン系の周期性は、ハダマードウォークを越えてどの程度一般化可能か？
• RQ5 非一様コインが1つのサイトに孤立しており、残りは恒等コインが使用される場合、系の周期性はどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 等スペクトルコインの状況では、時間発展演算子のスペクトル解析を用いて、ハダマードウォークの既知の周期性結果が拡張される。
• 非等スペクトルな $[C:1,I_2:m]$ モデルにおいて、全系の周期性は、原点に配置された一般コイン $ C $ の固有値によって完全に決定される。
• フリップフロップウォークの周期 $ T_n(U_n^{FF}) $ は、$ Mn $ で与えられ、ここで $ M $ は一般コインの固有位相を表す既約分数の分母の最小公倍数である。
• $[C:1,I_2:m]$ モデルで $ n \equiv 0 \pmod{m+1} $ のとき、系の周期は $ m+1 $ に線形に比例し、具体的には $ T_n(U_n^{FF}) = (m+1)T_{n/(m+1)}^{FF} $ となる。ここで $ T_{n/(m+1)}^{FF} $ はコイン $ C $ を用いた均一系の周期である。
• $ U_n^{FF} $ と $ U_n^{MS}(\mathcal{C}_n\sigma_x) $ のスペクトル的同値性により、FF ウォークの周期性結果をMS ウォークの解析から導出可能である。
• 本稿は、このような系における周期性が、特に $ \pi $ を用いた有理数としての固有値の代数的構造によって支配されることを確立した。