[論文レビュー] Periods and borders of random words

Štěpán Holub, Jeffrey Shallit|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

semigroups and automata theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、固定されたアルファベット上でのランダムな語の周期および境界長の統計的性質を調査する。組み合わせ的数え上げと、FineとWilfの定理およびFW語の構造に基づく再帰的関係を用いて、長さ $ n $ のランダムな語が与えられた最大境界長 $ r $ を持つ確率の漸近的確率を計算するための正確な再帰式を導出する。主な結果は、$ n \to \infty $ のとき、期待最大境界長 $ \alpha_\ell(n) $ が定数 $ \alpha_\ell $ に収束することであり、特に二進語では $ \alpha_2 \approx 1.641 $ である。

ABSTRACT

We investigate the behavior of the periods and border lengths of random words over a fixed alphabet. We show that the asymptotic probability that a random word has a given maximal border length $k$ is a constant, depending only on $k$ and the alphabet size $\ell$. We give a recurrence that allows us to determine these constants with any required precision. This also allows us to evaluate the expected period of a random word. For the binary case, the expected period is asymptotically about $n-1.641$. We also give explicit formulas for the probability that a random word is unbordered or has maximum border length one.

研究の動機と目的

• 長さ $ n $ の $ \ell $ 文字のアルファベット上でのランダム語が、与えられた最大境界長 $ r $ を持つ確率の漸近的性質を定量化すること。
• 任意の精度で期待最大境界長 $ \alpha_\ell(n) $ を計算するための再帰的関係を導出すること。
• ランダム語の期待最小周期を評価し、それが $ n - \alpha_\ell(n) $ であり、$ \alpha_\ell(n) = \mathcal{O}(1) $ であることを示すこと。
• ランダム語が無境界であるか、最大境界長が1である確率に対する明示的な公式を提供すること。
• さまざまなアルファベットサイズ $ \ell $ に対して、制限された期待境界長 $ \alpha_\ell $ を計算すること。特に $ \alpha_2 \approx 1.641 $ を含む。

提案手法

• 周期の集合 $ P $ を持つ長さ $ n $ の語の集合 $ \mathcal{G}_\ell(P,n) $ を定義し、最小周期がちょうど $ \min P $ である語の集合 $ \mathcal{F}_\ell(P,n) $ をFW語の構成を用いて定義する。
• 公式 $ G\_\ell(P,n) = \ell^{\mathfrak{c}(P,n)} $ を用いる。ここで $ \mathfrak{c}(P,n) $ は、周期 $ P $ を持つFW語に必要な最小アルファベットサイズであり、再帰的アルゴリズムにより計算される。
• 語の構造的分解と境界の性質に基づき、最大境界長が $ r $ である語の数に関する再帰的関係を導出する。
• 無境界語を数える列 $ s(n) $ に関する関数方程式と母関数を確立し、$ \lambda_\ell(1) $ および $ \alpha_\ell $ の再帰的関係を導く。
• 奇数の $ n $ に対しては再帰 $ v_n = \ell v_{n-1} - v_{\lfloor n/2 \rfloor} $、偶数の $ n $ に対しては $ v_n = \ell^2 v_{n-2} - v_{n/2} $ を用いて、境界長確率を計算する。
• 母関数 $ L_1(x) $ が $ L_1(x) = \frac{x^2}{\ell(1-x)} + \frac{\ell - 1 - \ell/x}{1 - x} L_1\left(\frac{x^2}{\ell}\right) $ を満たすことを導出し、$ \lambda_\ell(r) $ および $ \alpha_\ell $ の高精度計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $ n $ の $ \ell $ 文字のアルファベット上でのランダム語が最大境界長 $ r $ を持つ確率の漸近的性質は何か？
• RQ2 期待最大境界長 $ \alpha_\ell(n) $ は $ n \to \infty $ のときどのように振る舞い、その極限値 $ \alpha_\ell $ は何か？
• RQ3 ランダムな二進語が無境界であるか、最大境界長が1である確率は正確に何か？
• RQ4 任意の精度でランダム語の期待周期を計算するための再帰的関係を導出できるか？
• RQ5 長さ $ n $ のランダムな二進語の期待最小周期は何か？また、$ n $ と比べてどうなるか？

主な発見

• 長さ $ n $ のランダム語が最大境界長 $ r $ を持つ確率の漸近的性質は、$ r $ とアルファベットサイズ $ \ell $ のみに依存する定数 $ \lambda_\ell(r) $ に収束する。
• 二進語（$ \ell = 2 $）の場合、期待最大境界長は漸近的に $ \alpha_2 \approx 1.64116491178296695613 $ であり、期待最小周期は $ n - 1.641 $ である。
• ランダムな二進語が無境界である確率は約 $ 26.78\% $、最大境界長が1である確率は約 $ 30.04\% $ である。
• より大きなアルファベットでは、期待境界長 $ \alpha_\ell $ は減少する：$ \alpha_3 \approx 0.6859 $、$ \alpha_4 \approx 0.4220 $、$ \alpha_5 \approx 0.3020 $、$ \alpha_{50} \approx 0.0208 $。
• 母関数 $ L_1(x) $ は関数方程式を満たし、$ \lambda_\ell(1) $ の高精度計算を可能にする。また、次の級数表現が導出される：$ L_1(1/\ell) = \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{\ell^{n+1}} \prod_{i=1}^{n} \frac{\ell^{2^{i-1}} - \ell + 1}{\ell^{2^i - 1} - 1} $。
• 再帰 $ s(2n) = 1/\ell - \sum_{j=1}^{n} s(j) \ell^{-j} $ を用いることで、$ n $ が大きい場合の $ \alpha_\ell $ の効率的な数値評価が可能であり、収束は $ |\lambda_\ell(r,n+1) - \lambda_\ell(r,n)| \leq \ell^{-\lfloor n/2 \rfloor} $ の境界により保証される。