[論文レビュー] Periods and elementary real numbers

Masahiko Yoshinaga|ArXiv.org|May 3, 2008

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、有理関数の絶対収束積分によって定義される複素数（周期）が、すべての初等的有理コーシー列によって有効に近似可能であることを確立し、周期が初等的実数の部分集合であることを証明する。主な結果として、初等的コーシー列に対する対角線的構成を用いて、初等的でない計算可能実数を構成し、それが周期ではありえないことを示した。これにより、コンツェビッチとザギエの長年の問題が解決された。

ABSTRACT

The periods, introduced by Kontsevich and Zagier, form a class of complex numbers which contains all algebraic numbers and several transcendental quantities. Little has been known about qualitative properties of periods. In this paper, we compare the periods with hierarchy of real numbers induced from computational complexities. In particular we prove that periods can be effectively approximated by elementary rational Cauchy sequences. As an application, we exhibit a computable real number which is not a period.

研究の動機と目的

• コンツェビッチとザギエの問題3に応えること：周期でない実数を示すこと。
• 計算複雑性階層の分析を通じて、周期と非周期との間の定性的な違いを明確化すること。
• 自然数から自然数への関数の初等的関数から定義される初等的実数のクラスを定義・分析すること。
• 周期が初等的関数によって定義される有理コーシー列によって有効に近似可能であることを示すこと。
• 初等的でない計算可能実数を構成することで、それが周期ではありえないことを証明すること。

提案手法

• 周期の近似問題を、整数係数の多項式不等式によって定義される有界な半代数的集合の体積を計算する問題に還元する。
• サイズ $1/n$ の立方体グリッド上のリーマン和を用いて、そのような領域の体積を近似する。
• タルスキの量化子除去を適用し、与えられた立方体が領域に含まれるかどうかをアルゴリズム的に決定可能であることを保証し、包含関数が初等的であることを示す。
• グリッドインデックス上の有限和を用いて、含まれる立方体の体積の和を $n$ の初等的関数として表現する。
• ミンコフスキーの内容と次元論を用いて収束速度を評価し、体積差 $| ext{vol}(D) - ext{vol}(V_n)|$ を $4r ilde{L} ilde{ ho}/n$ で上界づけている。
• 初等的コーシー列の集合に対する対角線的議論を用いて、初等的でない計算可能実数を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初等的関数によって定義される有理コーシー列によって、周期は有効に近似可能か？
• RQ2 計算可能実数で周期でないものがあるか。あるならば、どのように構成できるか？
• RQ3 整数係数の多項式不等式によって定義される半代数的集合の体積を近似する計算複雑性は何か？
• RQ4 半代数的集合の体積に対するリーマン和近似の収束速度を初等的に上界づけられるか？
• RQ5 初等的実数のクラスは周期の集合を真に含むか。この性質を用いて、周期と非周期とを分離できるか？

主な発見

• 任意の実周期は初等的実数である。つまり、初等的関数によって定義される有理数のコーシー列の極限として表現可能である。
• 整数係数の多項式不等式によって定義される任意の有界な半代数的集合 $D$ の体積は、初等的有理数列 $\text{vol}(V_n)$ によって近似可能である。
• $\text{vol}(V_n)$ の収束は有効的である：体積差 $|\text{vol}(D) - \text{vol}(V_n)|$ が $1/k$ より小さいのは、$n > 4rL\sqrt{\ell}k$ であるときである。ここで $L = L(D)$ は定数である。
• 初等的コーシー列の集合に対する対角線的構成を用いて、初等的でない計算可能実数を明示的に構成した。
• 構成された数は初等的でないため、周期ではありえない。これにより、コンツェビッチとザギエの問題3に対する肯定的解決が得られた。
• 境界 $\partial D$ のミンコフスキー $(\ell-1)$ 次元内容が有限であるため、有効な収束バウンドが可能である。