[論文レビュー] Periods, cycles, and $L$-functions: a relative trace formula approach

Wei Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、相対的トレース公式を用いて、自動形式的周期、シムーラ多様体上の特別な円周、およびL関数の中心値・微分を結びつける手法を開発し、グロス–ザイジャーおよびワルドスピュルガーの古典的公式を拡張する。ユニタリ・ラポルト–ジンクス空間における算術的基本的補題（AFL）予想を確立し、ドリンフェルト・シュトゥーカを用いて関数体設定における高次グロス–ザイジャー公式を証明する。

ABSTRACT

This is a report for the author's talk in ICM-2018. Motivated by the formulas of Gross--Zagier and Waldspurger, we review conjectures and theorems on automorphic period integrals, special cycles on Shimura varieties, and their connection to central values of L-functions and their derivatives. We focus on the global Gan--Gross--Prasad conjectures, their arithmetic versions and some variants in the author's joint work with Rapoport and Smithling. We discuss the approach of relative trace formulas and the arithmetic fundamental lemma conjecture. In the function field setting, Z. Yun and the author obtain a formula for higher order derivatives of L-functions in terms of special cycles on the moduli space of Drinfeld Shtukas.

研究の動機と目的

• 相対的トレース公式を用いて、ディリクレ、グロス–ザイジャー、ワルドスピュルガーの古典的公式を、高ランクの再帰的代数群および自動形式的L関数へ一般化すること。
• ラポルト–ジンクス空間上の算術的交差数と軌道積分の微分との間の明確な関係を確立すること。
• p進体上のユニタリ群に対して算術的基本的補題（AFL）予想を定式化し、証明すること。
• ドリンフェルト・シュトゥーカを用いて、関数体設定におけるL関数の高次微分へのグロス–ザイジャー公式の拡張をすること。
• 特別な円周およびその交差理論の幾何的解釈を、L値および自動形式的周期と関連付けること。

提案手法

• 球面部分群上での自動形式的周期積分とL値との関係を、相対的トレース公式を用いて関係づける。
• 算術的基本的補題（AFL）予想を適用し、特性関数の軌道積分とラポルト–ジンクス空間上の算術的交差数との関係を確立する。
• ドリンフェルト・シュトゥーカの形式的モジュライ空間における導来交差理論を用いて、交差積を計算する。
• 構造層の導来テンソル積を用いて、対角円周の平行移動の交差数 Int(g) を定義する。
• p進設定における球面調和解析および軌道積分の理論を適用し、トレース公式とL関数の微分との関係を確立する。
• ユンのAFL予想の関数体版を活用し、関数体設定における高次グロス–ザイジャー公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロス–ザイジャーおよびワルドスピュルガーの公式を、高ランクの再帰的代数群および自動形式的L関数へどのように一般化できるか？
• RQ2 ラポルト–ジンクス空間上の算術的交差数とL関数の微分との間の正確な関係は何か？
• RQ3 p進体上のユニタリ群に対して、算術的基本的補題（AFL）予想はどの程度成立するか？
• RQ4 L関数の高次微分は、ドリンフェルト・シュトゥーカのモジュライ空間上の特別な円周を用いて表現可能か？
• RQ5 相対的トレース公式は、算術幾何学において自動形式的周期、特別な円周、およびL値をどのように結びつけるか？

主な発見

• n=2,3 および p≥n/2+1 の条件下で、g∈G♭(F) の最小的元に対して算術的基本的補題（AFL）予想が証明された。
• p≥n/2+1 の条件下で、G♭(F) 内の最小的元に対してAFL予想が検証され、以前の結果が拡張された。
• ドリンフェルト・シュトゥーカモジュライ空間上の特別な円周の交差理論を用いて、関数体設定における高次グロス–ザイジャー公式が確立された。
• 軌道積分 ∂Orb(γ,1_G′(O_F)) の微分が、恒等式 ω(γ)∂Orb(γ,1_G′(O_F)) = −2·Int(g)·log q を通じて算術的交差数 Int(g) に比例することが示された。
• n=2,3 および p≥n/2+1 の条件下で、ラポルト–ジンクス空間上の導来交差理論を用いてAFL予想が証明され、最小的元へと拡張された。
• ユンの関数体版AFL予想により、ドリンフェルト・シュトゥーカモジュライ空間上の特別な円周を用いたL関数の高次微分の幾何的公式が得られた。