[論文レビュー] Periods implying almost all periods, trees with snowflakes, and zero entropy maps

Alexander Blokh|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 1991

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、木上の連続写像について、周期 $ n $ のサイクルが存在する場合、$ n $ が $ \text{End}(X)+1 $ より小さい素因数を持たない限り、十分大きなすべての周期のサイクルが存在することを確立する。本稿は木写像におけるMisiurewicz予想を証明し、'スノーフレーク'構造を用いてゼロエントロピー写像を特徴づけ、ゼロエントロピー木写像の周期的挙動が正確に組み合わせ的スノーフレークによって記述されることを示している。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact tree, $f$ be a continuous map from $X$ to itself, $End(X)$ be the number of endpoints and $Edg(X)$ be the number of edges of $X$. We show that if $n>1$ has no prime divisors less than $End(X)+1$ and $f$ has a cycle of period $n$, then $f$ has cycles of all periods greater than $2End(X)(n-1)$ and topological entropy $h(f)>0$; so if $p$ is the least prime number greater than $End(X)$ and $f$ has cycles of all periods from 1 to $2End(X)(p-1)$, then $f$ has cycles of all periods (this verifies a conjecture of Misiurewicz for tree maps). Together with the spectral decomposition theorem for graph maps it implies that $h(f)>0$ iff there exists $n$ such that $f$ has a cycle of period $mn$ for any $m$. We also define {\it snowflakes} for tree maps and show that $h(f)=0$ iff every cycle of $f$ is a snowflake or iff the period of every cycle of $f$ is of form $2^lm$ where $m\le Edg(X)$ is an odd integer with prime divisors less than $End(X)+1$.

研究の動機と目的

• 連続的木写像におけるMisiurewicz予想の検証、すなわち、十分に多くの小さい周期がすべての正の整数を周期として持つことを示すこと。
• 区間写像を超えて、連続的木写像のサイクル周期集合を特徴づけること、Sharkovskiiの定理を拡張すること。
• 『スノーフレーク』という概念を用いて、ゼロエントロピー木写像の構造を記述すること——入れ子になった連結集合のサイクルで、階層的な周期性を持つもの。
• 組み合わせ的スノーフレークと実際にゼロエントロピー力学系として実現可能な木上の連続写像との間の対応関係を確立し、連続的拡張によって実現可能性を示すこと。

提案手法

• ap性質の定義：整数 $ n $ が木 $ X $ に対してap性質を持つとは、周期 $ n $ のサイクルを持つ写像が、ある $ j(n,X) $ より大きいすべての周期のサイクルを持つことである。
• スペクトル分解とサイクル構造解析を用いて、$ n $ が $ X $ に対してap性質を持つことと、そのすべての素因数が $ \geq \text{End}(X)+1 $ であることが同値であることを証明する。
• 『スノーフレーク』写像の概念を導入：連結な不変集合 $ C \subset X $ 上の連続写像で、周期が $ 1 = m_0 < m_1 < \cdots < m_k $ である入れ子になったサイクル集合から成り、階層的な周期的構造を持つもの。
• 有限写像の連続的拡張を構成し、組み合わせ的スノーフレークを実際にゼロエントロピー力学系として木上で実現する。すべての軌道が周期的サイクルに収束することを保証する。
• 有限集合からその連結包への写像の帰納的拡張を用い、サイクル構造を保ちつつ、非周期的軌道の収束を保証する。
• グラフ写像のスペクトル分解定理を適用し、特にゼロエントロピー領域において、周期的挙動とエントロピーの関係を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの整数 $ n $ に対して、木写像における周期 $ n $ のサイクルの存在が、十分大きなすべての周期のサイクルの存在を示唆するか？
• RQ2 連続的木写像におけるMisiurewicz予想は成り立つか、すなわち、すべての周期 $ 1 $ から $ L(X) $ のサイクルを持つような有限な $ L(X) $ が存在するか？
• RQ3 ゼロエントロピー木写像の正確な力学的構造は何か？ そして、それをどのように組み合わせ的に特徴づけられるか？
• RQ4 任意の組み合わせ的スノーフレーク（階層的サイクル集合）は、木上の連続的ゼロエントロピー写像の周期的構造として実現可能か？
• RQ5 エンドポイント数 $ \text{End}(X) $ と、完全な周期性を強制する最小の周期集合との関係は何か？

主な発見

• 整数 $ n $ が木 $ X $ に対してap性質を持つことと、そのすべての素因数が $ \geq \text{End}(X)+1 $ であることが同値である。これは、木へのSharkovskiiの定理の一般化である。
• Misiurewicz予想は木写像において成立する：$ f $ が周期 $ 1 $ から $ 2\cdot\text{End}(X)\cdot(p-1) $ のすべての周期のサイクルを持つならば、$ f $ はすべての周期のサイクルを持つ。ここで $ p $ は $ \text{End}(X) $ よりも大きい最小の素数である。
• 任意の $ m \leq \text{End}(X) $ および $ k \geq 0 $ に対して、$ h(f) = 0 $ かつ周期 $ 2^k m $ の周期点を持つ連続写像 $ f $ が $ X $ 上に存在する。これは、ゼロエントロピー力学系において、すべてのこのような周期が実現可能であることを示している。
• 写像 $ f $ がゼロエントロピーであることと、その周期的挙動がスノーフレーク構造（周期 $ 1 = m_0 < m_1 < \cdots < m_k $ を持つ入れ子になった連結集合のサイクル）によって記述されることとは同値である。
• 有限写像が組み合わせ的スノーフレークである限り、それを全木上でゼロエントロピーを保ちながら連続写像に拡張できる。これは、ゼロエントロピー木写像における周期的構造としてスノーフレークが唯一の可能性であることを証明する。
• 周期 $ n = pk $ のサイクルを持つ写像について、$ p > 1 $ が $ \text{End}(X)+1 $ より小さい素因数を持たない場合、エントロピーの下界は $ h(f) \geq \frac{\ln 2}{k(p\cdot\text{End}(X)-1)} $ である。これは正であり、$ k $ が小さくなるほど増加する。