[論文レビュー] Periods of the discretized Arnold Cat Map and its extension to n dimensions

Joe Nance|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2011

Chaos-based Image/Signal Encryption参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元の離散化アーノルド・キャット写像（DCM）の周期的ダイナミクスを調査し、新たな行列結合構成を用いてそれをn次元系へと拡張する。周期が偶数番目のフィボナッチ数がNを法として割り切れるかどうかに依存することを確立し、N ≥ 3のとき、いかなる画像も自分自身に密値をとらないことを証明する。n次元DCMは基底写像を繰り返し用いて構築され、固有値解析により、高次元写像は次第に支配的となる固有値を示し、より強いカオス的挙動を示すことが示唆される。

ABSTRACT

A discrete dynamical system known as Arnold's Discrete Cat Map (Arnold's DCM) is given by (x_t+1, y_t+1) = (x_t + y_t, x_t + 2y_t) mod N; which acts on a two-dimensional square coordinate grid of size Nx?N. The defining characteristic of this map is that it has the property that when the NxN grid is a picture whose pixels are assigned (x,y) coordinates, the map scrambles the picture with each iteration. After a finite number of iterations, the picture is restored to its original shape and order. The number of iterations M, needed to restore the image, has a mysterious dependence on N. This period, as we will find out, is directly related to the divisibility of the Fibonacci numbers. We will exploit this property to show that, for any N, an image is not dense in itself. In the second half of the paper, we build on the work of Chen, Mao, and Chui to extend the DCM to three dimensions. Finally, we define the generalized n dimensional DCM by introducing the idea of a "matrix union".

研究の動機と目的

• 2次元離散化アーノルド・キャット写像の周期を、画像サイズNに依存する形で分析すること。
• N ≥ 3のとき、N×Nの画像がDCMのもとで自分自身に密値をとらないことを証明すること。
• 新たな行列結合操作を用いて、2次元DCMをn次元に拡張すること。
• 高次元キャット写像の力学的性質、特に固有値解析によるカオス的挙動を調査すること。

提案手法

• 2次元DCMは、行列 [[1,1],[1,2]] を法Nで用いた行列変換として表現される。
• 周期Mは、A^{2t} ≡ I mod N を満たす最小のtとして定義され、これはu_{2t} ≡ 0およびu_{2t-1} ≡ 1 mod N を解くことに帰着する。
• 行列結合操作 ⊗ が定義され、i-フレームに挿入することで、(n-1)次元の行列からn次元DCM行列を再帰的に構築する。
• 基底写像 a_{n+1}^i は行列結合を用いて構成され、n次元の全行列 A_{n+1} はこれらのすべての基底写像の積として形成される。
• n次元写像の力学的挙動は、その固有多項式および固有値を用いて解析され、1に等しい固有値がなく、かつ絶対値が1より大きい固有値が少なくとも1つ存在する場合、カオス的軌道が示される。
• n次元キャット写像の支配的固有値は次元とともに増大すると仮説を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたN×N画像サイズにおける2次元離散化アーノルド・キャット写像の周期Mを決定するのは何であるか？
• RQ2 なぜN ≥ 3のとき、DCMにおけるN×N画像は自分自身に密値をとらないのか？
• RQ3 2次元DCMを体系的にn次元に拡張する方法は何か？
• RQ4 n次元DCM行列の固有値とそのカオス的力学的挙動の関係は何か？
• RQ5 n次元キャット写像の支配的固有値は次元とともに増大するのか？これは高次元でより強いカオスを示唆するか？

主な発見

• 2次元DCMの周期Mは、2t番目のフィボナッチ数がNで割り切れ、かつ(2t-1)番目のフィボナッチ数が1に合同であるような最小のtである。
• 任意のN ≥ 3に対して、DCMにおける画像は自分自身に密値をとらない。これは、法Nにおける最初の繰り返しフィボナッチペアが(1,1)であるという事実により、完全なカバーが達成される前に周期性が生じることを示している。
• n次元DCMは再帰的行列結合操作により構築され、各基底写像は1つの座標を固定し、全行列はこれらのすべての写像の積として形成される。
• 4次元DCMの固有多項式は λ⁴ - 562λ³ + 410λ² - 66λ + 1 であり、支配的固有値は約561.27である。これは強いスパンティングとカオス的挙動を示唆する。
• n次元DCM行列の固有値には1に等しいものがない。また、絶対値が1より大きい固有値が少なくとも1つ存在する。これはカオス的軌道を満たす条件を満たしている。
• 本稿では、n次元DCMの支配的固有値がnとともに増大すると仮説を提示しており、これは高次元キャット写像が低次元のものよりもより強いカオス的挙動を示す可能性を示唆している。