[論文レビュー] Permanental polynomials of skew adjacency matrices of oriented graphs

Shunyi Liu, Heping Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2014

Graph theory and applications参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、歪隣接行列を用いて有向グラフの永続的多項式を導入し、すべての向き付けが同じ永続的多項式を持つための必要十分条件として、グラフに偶数長のサイクルを含まないことが示されている。多項式の係数はグラフ構造（サイクルやマッチングなど）に基づいて解釈され、永続的固有値が実数であるための必要十分条件は、グラフが二部グラフであり、4の倍数の長さの偶数サイクルを含まないことである。

ABSTRACT

Let $G^σ$ be an orientation of a simple graph $G$. In this paper, the permanental polynomial of an oriented graph $G^σ$ is introduced. The coefficients of the permanental polynomial of $G^σ$ are interpreted in terms of the graph structure of $G^σ$, and it is proved that all orientations $G^σ$ of $G$ have the same permanental polynomial if and only if $G$ has no even cycles. Furthermore, the roots of the permanental polynomial of $G^σ$ are studied.

研究の動機と目的

• 有向グラフの歪隣接行列を用いて、その永続的多項式を定義し、研究すること。
• 永続的多項式の係数を、サイクルやマッチングなどのグラフ構造的要素に基づいて解釈すること。
• すべての向き付けが同一の永続的多項式を与えるようなグラフを特徴づけること。
• 永続的多項式の固有値の性質と分布、特に実数性と対称性を調査すること。

提案手法

• 有向グラフ $G^\sigma$ の永続的多項式を $\pi(G^\sigma, x) = \mathrm{per}(xI - A_s(G^\sigma))$ として定義する。ここで $A_s(G^\sigma)$ は歪隣接行列である。
• 偶数長サイクル部分グラフの和をとることで、$\pi(G^\sigma, x)$ の係数に対するサックス型の公式を確立する。この際、サイクルの向きと成分数を重み付けする。
• 符号反転の対合を用いて、歪対称行列 $A$ に対する $\mathrm{per}(A)$ が、奇数長サイクルからなる置換でのみ非ゼロであることを証明する。
• 係数のグラフ論的解釈を用いて、すべての向き付けが同一の永続的多項式を持つのは、$G$ に偶数長サイクルが存在しない場合に限ることを示す。
• 固有値の性質を、特性多項式やスペクトル的性質と関連付けることで分析する。特に $S_p(G^\sigma)$、すなわち固有値の $p$ 乗和を用いる。
• 既知の二部グラフおよびパフリアン向き付けに関する結果を応用し、永続的固有値が実数または対称となる条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ $G$ のすべての向き付けが同じ永続的多項式を与えるのは、どのようなときか？
• RQ2 有向グラフの永続的多項式の係数は、そのグラフ構造（サイクル、マッチングなど）をどのように解釈できるか？
• RQ3 有向グラフの永続的固有値が実数であるための条件は何か？
• RQ4 有向グラフの永続的多項式とその元の無向グラフの特性多項式の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 $S_p(G^\sigma) = iS_p(G)$ が成り立つのはいつか？ これはグラフ構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• すべての向き付けが同一の永続的多項式を持つのは、$G$ に偶数長サイクルが存在しない場合に限る。
• 多項式 $\pi(G^\sigma, x)$ における $x^{n-k}$ の係数 $a_k(G^\sigma)$ がすべての奇数 $k$ に対してゼロであるための必要十分条件は、$G$ が二部グラフであることである。
• 有向グラフ $G^\sigma$ の永続的固有値がすべて実数であるための必要十分条件は、$G$ が二部グラフであり、かつ長さが4の倍数である偶数サイクルを含まないことである。
• 任意の向き付け $G^\sigma$ に対して、$S_p(G^\sigma) = iS_p(G)$ が成り立つのは、$G$ が二部グラフである場合に限る。また、$S_p(G^\sigma) = S(G)$ が成り立つのは、$G$ が森（閉路を持たないグラフ）である場合に限る。
• 森の永続的多項式は、その元のグラフの特性多項式と、偶数次係数の符号の変更を除いて一致する。
• 非二部グラフであっても $S_p(G^\sigma) = S(G)$ を満たすものは存在するが、このようなグラフが $S_p(G^\sigma) = iS_p(G)$ を満たすためには、二部グラフであり、かつ長さが4の倍数の偶数サイクルを含まない必要がある。