[論文レビュー] Permanental Processes

Hana Kogan, Michael B. Marcus+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正の確率過程としての平方ガウス過程を一般化する永続過程（permanental processes）を、その存在、連続性、およびマルコフ過程や局所時刻との関係について調査する。主な貢献は、1/2-永続過程の存在を保証するカーネル（M行列およびポテンシャル密度を介して）の特徴付けであり、非対称な場合にまで拡張されたディンキン同型定理の一般化である。

ABSTRACT

This is a survey of results about permanental processes, real valued positive processes which are a generalization of squares of Gaussian processes. In a certain sense the symmetric positive definite function that determines a Gaussian process is replaced by a function that is not necessarily symmetric nor positive definite, but that nevertheless determines a stochastic process. This is a new avenue of research with very many open problems.

研究の動機と目的

• ラプラシアン変換と行列の性質を用いて、β-永続過程の存在に必要な十分条件を確立すること。
• カーネルから導かれる度合い条件を用いて、永続過程の連続性と有界性を調査すること。
• 非対称なポテンシャルカーネルにまで拡張されたディンキン同型定理を、マルコフ過程の局所時刻と結びつけること。
• 特に、2つの成分の独立性と完全独立性の違いを分析し、カーネルに課される制約を明らかにすること。
• 特にゼロ-一様法則、スレピアン型不等式、無限に可除でないカーネルに関する問題を含め、永続過程理論における未解決問題を特定すること。

提案手法

• カーネル行列 $ \Gamma $ を用いた形 $ \mathbb{E}\left[\exp\left(-\frac{1}{2}\sum \alpha_i \theta_{x_i}\right)\right] = |I + \alpha \Gamma|^{-\beta} $ で定義される β-永続過程を、ラプラシアン変換により定式化する。
• Vere-Jonesが提示した、このような過程の存在に必要な十分条件を用い、特に $ \Gamma $ が M行列または一時的マルコフ過程のポテンシャル密度である場合に注目する。
• ディンキン同型定理の枠組みを応用し、ループサブやポテンシャルカーネルを通じて、永続過程とマルコフ過程の局所時刻を関連付ける。
• カーネル $ \Gamma $ を用いて定義される距離 $ d(x,y) $ を用いて、パスの連続性に関する十分条件を導出し、ガウス過程の結果を一般化する。
• 巡回重み付き置換を用いたパーマネントを用いて、永続ベクトルのモーメント構造を分析する：$ \mathbb{E}\left[\prod \theta_{x_j}\right] = \sum_{\pi} \alpha^{c(\pi)} \prod \Gamma(x_j, x_{\pi(j)}) $。
• 特に逆行列が M行列でない場合を含めたカーネル行列とその逆行列の解析を通じて、3次元および4次元のベクトルにおける独立性構造を調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定理3.1は1/2-永続過程の連続性について必要十分条件であるか。また、一般の β-永続過程へは拡張可能か？
• RQ2 1/2-永続過程はガウス過程と同様のゼロ-一様法則を満たすか。もしそうならば、どの法則が成立するか？
• RQ3 1/2-永続ベクトルの成分が2つずつ独立であっても、完全に独立ではないことはあり得るか。このような振る舞いを許すカーネル構造は何か？
• RQ4 ガウス過程の二乗から導かれない、無限に可除でないカーネルを持つ1/2-永続過程は存在するか？
• RQ5 カーネル $ \Gamma $ が誘導する距離が、異なる永続過程間の連続性や有界性を比較するのに使えるか。また、距離が小さいほどパスの正則性が向上するという関係はあるか？

主な発見

• 1/2-永続過程が存在するための必要十分条件は、そのカーネル $ \Gamma $ が一時的マルコフ過程のポテンシャル密度であること、あるいはすべての有限次元行列が M行列であることである。
• 過程 $ \theta $ が連続であるための必要十分条件は、カーネル $ \Gamma $ を用いて定義される距離 $ d(x,y) $ が特定の連続性モジュラス条件を満たすことである。これはガウス過程のケースを一般化する。
• 3次元の1/2-永続ベクトルにおいて、カーネル行列の逆行列が M行列であればベクトルは存在するが、そうでなければ存在は保証されない。
• 循環的なパターンで非ゼロの要素を持つ3次元のカーネル（例：サイクリックな非ゼロ構造）は、2成分ずつが独立であっても、完全に独立ではない成分を生成するが、このようなカーネルは有効な1/2-永続ベクトルを生成できない。
• $ \mathbb{R}^4 $ において、循環的な非ゼロ要素を持つカーネル行列が存在し、2成分ずつの独立性条件を満たすが、それが1/2-永続カーネルとして有効かどうかは未解決のままである。
• ラプラシアン変換の条件 $ |I + \alpha \Gamma|^{-\beta} $ が有効なラプラシアン変換であるための必要十分条件は、$ \Gamma $ が Vere-Jones の条件を満たすことであり、$ \Gamma $ が M行列である場合にはその条件が容易に検証可能である。