[論文レビュー] Permissive Barrier Certificates for Safe Stabilization Using Sum-of-squares

Li Wang, Dongkun Han+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2018

Fault Detection and Control Systems参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非線形制御系における安定性と安全性を同時に確保しつつ、安全安定化領域を最大限に拡大する、和の平方（SOS）に基づく許容性の高いバリア証明の計算手法を提案する。リャプノフの下位集合に依存するのではなく、任意の形状のバリア証明を構築することにより、より大きな収縮的かつ安全な領域を達成し、反復的SOS最適化によって安定域の非保守的推定が可能となる。

ABSTRACT

Motivated by the need to simultaneously guarantee safety and stability of safety-critical dynamical systems, we construct permissive barrier certificates in this paper that explicitly maximize the region where the system can be stabilized without violating safety constraints. An optimization strategy is developed to search for the maximum volume barrier certified region of safe stabilization. The barrier certified region, which is allowed to take any arbitrary shape, is proved to be strictly larger than safe regions generated with Lyapunov sublevel set based methods. The proposed approach effectively unites a Lyapunov function with multiple barrier functions that might not be compatible with each other. Iterative search algorithms are developed using sum-of-squares to compute the most permissive, that is, the maximum volume, barrier certificates. Simulation results of the iterative search algorithm demonstrate the effectiveness of the proposed method.

研究の動機と目的

• 安全制御系における安全性と安定化の間の矛盾を解消すること。伝統的な手法では制約の不適合により失敗する可能性がある。
• リャプノフ条件を緩和せずに、安定性と安全性を同時に保証する手法を開発すること。安全性と収束の保証を明示的に行う。
• 和の平方プログラミングを用いてバリア証明の形状と体積を最適化することで、安全安定化領域を最大限に拡大すること。
• リャプノフの下位集合に基づく安定域推定の保守的性質を克服し、非楕円的で任意形状の収縮集合を許容すること。
• 複数の、互換性のないバリア関数を、リャプノフ関数と統合する統一フレームワークを提供すること。これは、適合性のあるバリア証明合成を通じて実現される。

提案手法

• 本手法は、多項式不等式として許容性の高いバリア証明を構築し、収縮的かつ安全な領域を定義する。バリア証明は設計上、リャプノフ関数と明示的に適合する。
• バリア証明による安全安定化領域の体積を最大化する最適化問題を定式化し、システム軌道に沿ったバリア関数の微分の非負性を保証するSOS制約を課す。
• 非凸最適化問題を反復的SOSプログラミングにより解き、バリア証明による領域を最大化する。バイリニア行列不等式はモーメント理論を用いて凸緩和に変換される。
• バリア証明はリャプノフ関数の下位集合に制限されず、任意の多項式形状を取ることができ、従来の楕円形推定をはるかに超える領域をカバー可能である。
• システムの状態が安全領域内に留まり、均衡点に収束することを保証するため、バリア関数のLie微分が領域内で負定値であることを検証する。
• 反復的アルゴリズムを用いてバリア証明を改善し、安全境界に達するまで領域を段階的に拡大する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リャプノフの下位集合に基づく手法と比較して、より大きな安全安定化領域が得られるようなバリア証明を構築可能か？
• RQ2 複数の、互換性のないバリア関数を、リャプノフ関数と統合する方法は何か？ これにより、安定性と安全性を同時に保証できるか？
• RQ3 どの最適化フレームワークが、安全安定化領域における最も許容性の高い（体積が最大の）バリア証明領域を計算可能にするか？
• RQ4 和の平方プログラミングを用いて、安全と安定性を保持しつつ、バリア証明領域を最大化する非凸問題を効率的に解けるか？
• RQ5 任意形状のバリア証明を許容することで、従来の下位集合法と比較して、安定域推定における保守的性質はどの程度軽減されるか？

主な発見

• 2次元例（システム12）では、安全安定化領域が、固体の緑色の楕円（V ≤ 5.8628）から、2次多項式バリア h(x) ≥ 0 で定義される破線の青い楕円へと顕著に拡大された。
• 3次元例（システム13）では、バリア証明領域（青色の楕円体）が、リャプノフの下位集合推定（黒色の楕円体）を著しく上回り、反復的SOS最適化により最大体積領域が達成された。
• 本手法は、リャプノフ条件の緩和なしに100％の安全性保証と完全な安定化を達成した。
• 反復的SOSアルゴリズムは、安全安定化領域を安全制約境界に達するまで成功裏に拡大し、非保守的であることを示した。
• 3次元例のバリア証明は2次多項式で、10個の係数を有し、h(x) ≥ 0 で定義される領域を生成した。ここで h(x) = 114.3555 + 1.4686x₁ + 7.2121x₂ + 19.8479x₃ - 14.7734x₁² - 26.0129x₁x₂ - 15.5440x₁x₃ - 28.3492x₂² - 27.5651x₂x₃ である。
• 提案手法は両例において、リャプノフの下位集合法を一貫して上回り、リャプノフベース手法が単一の安全制約に接触する地点で停止するのに対し、バリア証明領域がその先まで拡大した。