[論文レビュー] Permutation Groups with a Cyclic Two-Orbits Subgroup and Monodromy Groups of Siegel Functions

Peter Mueller|ArXiv.org|Oct 5, 2001

Finite Group Theory Research参考文献 39被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2つの軌道をもつ巡回部分群を含む有限素性置換群を分類し、古典的な群論の結果を拡張するとともに、シーゲルの整数点に関する定理を介して算術と結びつける。本稿は、無限に多くの整数値をとる有理関数（シーゲル関数）のモノドロミー群が、特定の有限単純群に制限されることを証明し、非交代的かつ非巡回なガロア群をもつ場合の、ハイルベルトの不約性定理の精密化版を可能にする。

ABSTRACT

We classify the finite primitive permutation groups which have a cyclic subgroup with two orbits. This extends classical topics in permutation group theory, and has arithmetic consequences. By a theorem of C. L. Siegel, affine algebraic curves with infinitely many integral points are parametrized by rational functions whose monodromy groups have this property. We classify the possibilities of these monodromy groups, and give an application to Hilbert's irreducibility theorem.

研究の動機と目的

• 巡回部分群がちょうど2つの軌道をもつ有限素性置換群を分類し、推移的巡回部分群に関する古典的結果を一般化すること。
• これらの群のうち、無限に多くの整数値をとる有理関数（シーゲル関数）のモノドロミー群として現れるものがどれであるかを特定すること。
• 分類結果を用いて、非交代的かつ非巡回なガロア群をもつ場合の、数体上でのハイルベルトの不約性定理を鋭くすること。
• 有理数体上でのシーゲル関数のガロア群に現れる非アーベルな組成因子の正確な集合を同定すること。
• 有理数体上での有理関数で無限に多くの整数値をとるものの、そのガロア群の完全なリストを提示すること。

提案手法

• アシュバッハァー–オンナン–スコットの定理を用いて、素性置換群をアフィン型、積型、正則型、対角型、ほぼ単純型、および古典的／例外的群に構造的タイプに分解する。
• 各タイプの群における2つの軌道をもつ巡回部分群の作用を、軌道長の制約および最大性や要素の位数といった群論的性質を用いて分析する。
• 種数0系と分岐サイクルの記述を用いて、特定のモノドロミーをもつ有理関数のガロア群としてどの群が現れるかを同定する。
• シーゲル–ラングの定理と有理関数の算術的性質を用いて、モノドロミー群が種数0の被覆と有限個の極のみをもつものに制限されることを示す。
• 計算代数と数論的技法を用いて、特定の次数12の拡大がℚ(t)上に有理点を持たないことを示し、それによってℚ(t)上に有理関数体として存在しないことを検証する。
• ガロア群の根への作用を分析し、非アーベルな組成因子が特殊化において不約性を強制する条件を同定することで、分類結果をハイルベルトの不約性定理に応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限素性置換群がちょうど2つの軌道をもつ巡回部分群を含み、それらを完全に分類できるか？
• RQ2 これらの群のうち、数体k上での有理関数g(Z) ∈ k(Z)が無限に多くの整数値をとる場合、どの群がモノドロミー群として現れるか？
• RQ3 g(Z)がℚ上でのシーゲル関数であるとき、g(Z) − t のガロア群の非アーベルな組成因子として可能なものは何か？
• RQ4 このようなモノドロミー群の存在が、ℚ(t)上での不約多項式の特殊化挙動にどのように影響するか？
• RQ5 どの有限単純群が、ほとんどすべての整数特殊化において不約のままである有理関数のガロア群としてℚ(t)上に現れるか？

主な発見

• 数体k上でのシーゲル関数のモノドロミー群の非アーベルな組成因子は、有限個のリストに限られる：交代群A_j (j ≥ 5)、PSL₂(7)、PSL₂(8)、PSL₂(11)、PSL₂(13)、PSL₃(3)、PSL₃(4)、PSL₄(3)、PSL₅(2)、PSL₆(2)、M₁₁、M₁₂、M₂₂、M₂₃、M₂₄。
• ℚ上では、このようなモノドロミー群の非アーベルな組成因子として現れるのは、交代群A_j (j ≥ 5) および PSL₂(7)、PSL₂(8) のみである。
• ℚ(t)上でのf(t,X)のガロア群が、交代群やC₂に同型でない単純群であるならば、f(ṫ,X) はℚ上ですべての有限個の例外を除き不約のままである。
• ℚ(Z)上の有理関数g(Z)が無限に多くの整数値をとる場合、g(Z) − t のガロア群は、PSL₂(11)、PSL₃(3) など、特定の例外的な有限単純群を組成因子としてもつことはできない。
• 明示的に構成された次数12の多項式F(X,t)の、ℚ(t)上での分解体は有理関数体ではない。これは、関連する二次形式に有理点が存在しないことから確認され、非有理関数体であることが裏付けられる。